Question

2．如图所示，AB为竖直平面内的光滑的$\frac{1}{4}$圆轨道，半径R=0.2m，其底端B与水平传送带相切，传送带长L=5m，始终以v=4m/s的速度顺时针转动．现有一个质量m=1kg的物块P从A点由静止滑下，到达C点后抛进水平地面上D点处的筐内，物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²．
（1）求物块运动到B点时对轨道的压力大小；
（2）求物块由A点运动到C点的过程中，摩擦力对物块所做的功；
（3）为了使物块每次由A点运动到C点时均抛进筐内，求R的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出物块P滑到B点时的速度，在B点，由牛顿第二定律和向心力公式列式，求出轨道对物块P的支持力，由牛顿第三定律得到物块P对轨道的压力；
（2）根据牛顿第二定律求出物块在传送带上加速运动时的加速度，进而求出加速到与传送带达到同速物块P通过的位移，判断物块的运动情况，再由动能定理求摩擦力对物块所做的功；
（3）物块离开C点后做平抛运动，只要物块离开传送带的速度不变，物块每次由A点运动到C点时均能抛进筐内，分析物块在传送带上的运动情况，再由机械能守恒定律求R的取值范围．

解答 解：（1）设物块P滑到B点时的速度ν₁，根据机械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得：v₁=$\sqrt{2gR}$=2m/s
设物块在轨道末端所受支持力的大小为N，根据牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
联立以上两式代入数据得：N=3mg=30N
根据牛顿第三定律，知物块P对轨道压力大小为30N，方向竖直向下
（2）物块在传送带上先做匀加速运动时，由μmg=ma得：a=μg=2m/s²
加速到与传送带达到同速所需要的时间：t₁=$\frac{v-{v}_{1}}{a}$=$\frac{4-2}{2}$=1s
位移为：s₁=$\frac{{v}_{1}+v}{2}$t₁=$\frac{2+6}{2}$×1=3m＜L
此后物块P与传送带一起做匀速运动，不再受摩擦力，则根据动能定理得：摩擦力对物块所做的功为：W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=6J
（3）由上分析知，物块离开传送带时的速度等于传送带的速度，所以只要物块离开传送带的速度为4m/s，物块每次由A点运动到C点时均能抛进筐内．
当物块刚滑上传送带速度等于v=4m/s，由机械能守恒定律得：mgR₁=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得：R₁=0.8m
所以当R满足：0＜R≤0.8m时，物块每次由A点运动到C点时均抛进筐内．
当物块滑上传送带一直做匀减速运动，物块离开传送带时的速度等于传送带的速度时，设刚滑上传送带的速度为v′，对整个过程，根据动能定理得：
mgR-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：R=1.8m
所以当R满足：0.8m≤R≤1.8m时，物块每次由A点运动到C点时均抛进筐内．
综上，当R满足：0≤R≤1.8m时，物块每次由A点运动到C点时均抛进筐内．
答：（1）物块运动到B点时对轨道的压力大小是30N；
（2）物块由A点运动到C点的过程中，摩擦力对物块所做的功是6J；
（3）为了使物块每次由A点运动到C点时均抛进筐内，R的取值范围为0≤R≤1.8m．

点评 解决本题的关键要理清物块的运动情况，由牛顿第二定律和运动学公式结合分析物块的运动规律．要掌握平抛运动的规律，知道水平位移由初速度和高度共同决定．