Question

18．如图所示，支架的质量为M，转轴O处用长为L的轻绳悬挂一质量为m的小球，若小球在竖直平面内做圆周运动，到达最高点时，恰好支架对地面的压力mg，设M=3m，求：
（1）小球在最高点肘的速度大小是多少？
（2）改变小球的速度，在保证小球仍能作圆周运动的前提下，当小球运动到最低点时，支架对地面的最小压力是多少？

Answer 1

分析 （1）小球到达最高点时，恰好支架对地面无压力为零，则绳对支架的拉力为Mg，则绳对小球的作用力为Mg，合外力提供小球圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律列式求解速度．
（2）小球经过最低点是速度最小，支架对地面的最小压力；由机械能守恒求出速度，再由牛顿第二定律求出绳子的拉力，再对支架，由平衡条件求解．

解答 解：（1）小球运动到最高点时，支架对地面无压力，对支架分析，有绳子的拉力：F=Mg
根据牛顿第三定律知，细线对小球的力方向竖直向下，大小为T=F=Mg，对小球分析，根据牛顿第二定律有：
  T+mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
解得 v=$\sqrt{\frac{（M+m）gL}{m}}$=$\sqrt{\frac{（3m+m）gL}{m}}=2\sqrt{gL}$．
（2）小球经过最低点是速度最小，支架对地面的最小压力；而小球经过最低点是速度最小，小球经过最高点是速度最小，最小时小球的重力恰好提供向心力，即：
$mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{L}$
所以：${v}_{1}=\sqrt{gL}$
设小球经过最低点时的速度为v₂
由机械能守恒得：$mg2L+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
在最低点，对小球，有：F′-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{L}$
解得 F′=6mg
则知支架对地面的最小压力是 N=F′+Mg=6mg+3mg=9mg
答：（1）小球在最高点肘的速度大小是$2\sqrt{gL}$；
（2）改变小球的速度，在保证小球仍能作圆周运动的前提下，当小球运动到最低点时，支架对地面的最小压力是9mg．

点评 本题考查了共点力平衡和牛顿第二定律的基本运用，知道圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．