Question

2．如图所示，在距水平地面高为0.4m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m=2kg小球A，半径R=0.3m的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m=2kg的小球B，用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来，杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看做质点，且不计滑轮大小的影响，（g=10m/s²），现给小球A一个水平向右的合力F=55N．求：
（1）把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，重力对小球B做的功？
（2）把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，力F做的功？
（3）小球B运动到P点正下方C点时，A、B两球的速度大小？
（4）小球B被拉到离地多高时与小球A速度大小相等？

Answer 1

分析 （1）根据公式W=mgh求重力对小球B做的功．
（2）根据几何知识求出滑块移动的位移大小，再求解力F做的功．
（3）当B球到达C处时，滑块A的速度为零，力F做的功等于A、B组成的系统机械能的增加，根据功能关系列方程求解小球B运动到C处时两球的速度大小．
（4）当绳与轨道相切时两球速度相等，小滑块A与小球B的速度大小相等，由几何知识求出小球B上升的高度．

解答 解：（1）把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，重力对小球B做的功 W_G=-mgR=-2×10×0.3J=-6J
（2）由几何知识得，PB=$\sqrt{{h}^{2}+{R}^{2}}$=0.5m，PC=h-R=0.1m．
F做的功为 W=F（PB-PC）=55×（0.5-0.1）=22J．
（3）当B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时小球A的速度为零．对两球及绳子组成的系统的能量变化过程，由功能关系，得
力F做的功  W=$\frac{1}{2}$mv₁²+mgR
 代入解得：B球的速度为 v₁=4m/s，v_A=0m/s
（3）当绳与轨道相切时两球速度相等，设此时B球的高度为h，由相似三角形知识，得：$\frac{PO}{R}$=$\frac{R}{h}$
所以 h=0.3×$\frac{0.3}{4}$m=0.225m．
答：
（1）把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，重力对小球B做的功为-6J．
（2）把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C的过程中力F做的功为22J．
（3）小球B运动到C处时A球的速度为0，B球的速度大小是4m/s．
（4）小球B被拉到离地0.225m高时滑块A与小球B的速度大小．

点评 本题连接体问题，从功能关系研究物体的速度与高度，关键分析两物体之间的关系和运用几何知识研究物体的位移，注意分析B球到达最高点时A球速度为零．