Question

（14分）为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为l = 2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除 AB 段以外都是光滑的。其AB 与BC 轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个小物块以初速度＝4.0m/s从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰好沿 AB 方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数 μ = 0.50．（g＝10 m／s²、sin37°＝ 0.60、cos37° ＝0.80）

（1）求小物块到达A点时速度。
（2）要使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件？
（3）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道 AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？

Answer 1

（1）5m/s （2） R₁≤0.66m．（3）R₂≥1.65m．

试题分析：（1）小物块做平抛运动，经时间 t 到达A处时，令下落的高度为h，水平分速度v₀，竖直速度为v_y，小物块恰好沿斜面AB方向滑下，则
得v_y=3 m/s，所以小物块到A点的速度为．
（2）物体落在斜面上后，受到斜面的摩擦力F _f=μF_N=μmgcos37°
设物块进入圆轨道到达最高点时有最小速度v₁，此时物块受到的重力恰好提供向心力，令此时的半径为 R₀，
则
物块从抛出到圆轨道最高点的过程中，根据动能定理有：．
联立上式，解得R₀=0.66m，若物块从水平轨道DE滑出，圆弧轨道的半径满足 R₁≤0.66m．
（3）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道 AB，则物块上升的高度须小于或等于某个值R，
则 
解得  R=1.65m
物块能够滑回倾斜轨道 AB，则 R₂≥1.65m．