Question

3．如图所示，电阻忽略不计的、两根平行的光滑金属导轨竖直放置，其上端接一阻值为3Ω的定值电阻R．在水平虚线L₁、L₂间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场B，磁场区域的高度为d=0.5m．导体棒a的质量m_a=0.2kg、电阻R_a=3Ω；导体棒b的质量m_b=0.1kg、电阻R_b=6Ω，它们分别从图中M、N处同时由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动，且都能匀速穿过磁场区域，当b 刚穿出磁场时a正好进入磁场．设重力加速度为g=10m/s²．（不计a、b之间的作用）求：
（1）在整个过程中，a、b两棒克服安培力分别做的功；
（2）M点和N点距L₁的高度．

Answer 1

分析 （1）a、b两棒都能匀速穿过磁场区域，穿过磁场过程中，重力势能减小转化为内能，而产生的内能等于两棒克服安培力分别做的功；
（2）根据感应电动势公式、欧姆定律、安培力公式推导安培力与速度的关系式，根据两棒进入磁场都做匀速运动，得到速度的表达式．由速度位移关系式列出M点和N点距L₁的高度与速度的关系式．根据当b刚穿出磁场时a正好进入磁场的条件，列出两棒的速度关系式，联立求出M点和N点距L₁的高度．

解答 解：（1）由能量守恒定律可知，
a棒克服安培力做功：W_a=m_agd=1.0J，
b棒克服安培力做功：W_b=m_bgd=0.5J；
（2）b在磁场中匀速运动时，设速度为v_b，
总电阻R₁=R_b+$\frac{{R}_{a}R}{{R}_{a}+R}$=7.5Ω，
b中的电流：${I_b}=\frac{{BL{υ_b}}}{R_1}$  ①
b所受的安培力大小为F_b=BI_bL，
由平衡条件得：$\frac{{{B^2}{L^2}{υ_b}}}{R_1}={m_b}g$ ②
同理，对a棒，由平衡条件得：$\frac{{{B^2}{L^2}{υ_a}}}{R_2}={m_a}g$ ③
由以上各式得，$\frac{υ_b}{υ_a}=\frac{3}{4}$  ④
由匀变速直线运动的速度位移公式得：υ²=2gh  ⑤
整理得：$\frac{h_b}{h_a}=\frac{9}{16}$   ⑥
由匀变速直线运动的速度公式得：v_a=υ_b+gt  ⑦
由匀速运动的位移公式得：d=υ_bt  ⑧
由④⑤⑥⑦⑧得 H_a=$\frac{4}{3}m$  ⑨H_b=$\frac{3}{4}$m  ⑩；
答：（1）在整个过程中，a、b两棒克服安培力分别做的功为1J、0.5J；
（2）M点和N点距L₁的高度分半为：$\frac{4}{3}$m、$\frac{3}{4}$m．

点评 本题电磁感应与力学、电路等知识的综合应用，要善于挖掘题中隐含的条件，分析导体的受力情况和运动情况是关键．