Question

7．质量为m的小木块，以初速度v₀滑上静止于光滑水平地面上质量为M、长为L的长木板，恰好没有滑出，木块与木板间的动摩擦因数为μ，试求：
（1）木块相对木板静止时的速度v；
（2）木块在木板上滑行的时间t；
（3）木板相对地面滑行的距离x₁（至少两种求法）；
（4）木块相对地面滑行的距离x₂（至少两种求法）；
（5）系统损失的机械能（摩擦产生的内能）E_损（至少两种求法）；
（6）若板长L未知，试求L至少为多长才能使木块不能滑离木板．

Answer 1

分析 （1）对AB组成的系统运用动量守恒定律求出相对静止时的速度．
（2）根据牛顿第二定律分别求出木块和木板的加速度大小，结合速度时间公式求出速度相等经历的时间．
（3）根据位移时间公式求出木板的位移，或根据动能定理求出木板的位移．
（4）根据位移时间公式求出木块的位移，或根据动能定理求出木块的位移．
（5）根据能量守恒或功能关系求出损失的机械能．
（6）根据能量守恒求出木板的至少长度．

解答 解：（1）对A、B组成的系统运用动量守恒，规定向右为正方向，
有：mv₀=（M+m）v，
解得v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$．
（2）物块的加速度大小a₁=μg，木板的加速度大小${a}_{2}=\frac{μmg}{M}$，
根据v₀-a₁t=a₂t
得，$t=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\frac{M{v}_{0}}{μ（M+m）g}$．
（3）方法一：木板相对地面的位移${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）g}$．
方法二：对木板运用动能定理得，$μmg{x}_{1}=\frac{1}{2}M{v}^{2}$，
解得x₁=$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）g}$．
（4）方法一：木块相对地面的位移${x}_{2}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$\frac{（{M}^{2}+2Mm）{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$．
方法二：对木块运用动能定理得，-μmgx₂=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得x₂=$\frac{（{M}^{2}+2Mm）{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$．
（5）方法一：根据能量守恒得，系统损失的机械能$△E=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$=$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2（M+m）}$．
方法二：系统损失的机械能△E=μmg•△x=μmg（x₁-x₂）=$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2（M+m）}$．
（6）根据能量守恒得，$μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$，
解得L=$\frac{M{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）g}$．
答：（1）木块相对木板静止时的速度v为$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$．
（2）木块在木板上滑行的时间t为$\frac{M{v}_{0}}{μ（M+m）g}$．
（3）木板相对地面滑行的距离x₁为$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）g}$．
（4）木块相对地面滑行的距离x₂为$\frac{（{M}^{2}+2Mm）{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$．
（5）系统损失的机械能（摩擦产生的内能）为$\frac{Mm{{v}_{0}}^{2}}{2（M+m）}$．
（6）若板长L未知，试求L至少为$\frac{M{{v}_{0}}^{2}}{2μ（M+m）g}$才能使木块不能滑离木板．

点评 本题考查了滑块模型，理清木块和木板的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，也可以根据动能定理、能量守恒进行求解．