Question

2．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球同步通信卫星绕地球做匀速圆周运动的周期与地球的自转周期相同，均为T（G己知）．
（1）求地球的第一宇宙速度．
（2）求地球同步通信卫星的轨道半径．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解；
（2）根据万有引力等于向心力及地球表面重力等于万有引力，两方程联立解得

解答 解：（1）第一宇宙速度是围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星速度，根据万有引力提供向心力，而在地球表面重力等于万有引力，有：
$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\sqrt{gR}$
（2）根据万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
在地球表面物体重力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$即$GM=g{R}_{\;}^{2}$
$r=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
答：（1）地球的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$．
（2）地球同步通信卫星的轨道半径$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$．

点评 卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解．