Question

【题目】年月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座”的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体绕人马座做椭圆运动，其轨道半长轴为天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座就处在该椭圆的一个焦点上．观测得到星的运行周期为年．

（）若将星的运行轨道视为半径天文单位的圆轨道，试估算人马座的质量是太阳质量的多少倍（结果保留一位有效数字）；

（）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚．由于引力的作用，黑洞表面处质量为的粒子具有的势能为（设粒子在离黑洞无限远处的势能为零），式中、分别表示黑洞的质量和半径．已知引力常量，光速，太阳质量，太阳半径，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座的半径与太阳半径之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：研究星绕人马座A*做圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出人马座A*的质量．研究地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出太阳的质量．根据题目提供的信息，筛选出有用的信息，结合功能关系，求出问题．

（1）设星的质量为，角速度为，周期为，根据万有引力提供向心力得：

，又

设地球质量为，公转轨道半径为，周期为，根据万有引力提供向心力得：

，又

联立得： ，其中年， 天文单位

代入数据可得

（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时粒子的势能为零．粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有：

由题意可知，

可得：

代入数据得：

所以：