Question

2．已知引力常量G，某恒星半径R，一个环绕此恒星做匀速圆周运动的行星（运动只受恒星引力影响），距恒星表面的高度是h，行星绕恒星的运转周期T₁，行星的自转周期T₂，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：行星绕恒星做圆周运动，由G$\frac{Mm}{{h}^{2}}$=mh$\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$得M=$\frac{4{π}^{2}{h}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果；
（2）恒星演化后期，部分恒星会因为内部引力而坍缩成为黑洞，根据拉普拉斯黑洞理论，黑洞的质量M和半径R的关系满足$\frac{M}{R}$=$\frac{{c}^{2}}{2G}$（其中c为光速，G为引力常量），假设题目中的恒星质量不变，则演化成黑洞的临界半径．

Answer 1

分析 （1）行星运转的轨道半径为R+h，结合行星绕恒星运转的周期，根据万有引力提供向心力求出恒星的质量．
（2）根据黑洞的质量M和半径R的关系满足$\frac{M}{R}$=$\frac{{c}^{2}}{2G}$，结合恒星的质量求出黑洞的临界半径．

解答 解：（1）错误．轨道半径和周期错误．
行星绕恒星做圆周运动，万有引力提供向心力．
$\begin{array}{l}G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{{{T_1}^2}}（R+h）\\ M=\frac{{4{π^2}}}{{G{T_1}^2}}{（R+h）^3}\end{array}$
（2）由题意可知，最小半径$R=\frac{2GM}{c^2}=\frac{{8{π^2}}}{{{c^2}{T_1}^2}}{（R+h）^3}$．
答：（1）解法错误，轨道半径和周期错误，地球质量M为$\frac{4{π}^{2}}{G{{T}_{1}}^{2}}（R+h）^{3}$．
（2）演化成黑洞的临界半径为$\frac{8{π}^{2}}{{c}^{2}{{T}_{1}}^{2}}（R+h）^{3}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，注意高度和轨道半径的不同，难度不大．