Question

4．如图所示，一传送带由水平和倾斜两部分平滑连接而成，水平部分距离地面的高度h=1m，长为L₁=3m，倾斜部分的倾角θ=37°，长为L₂=3.2m，传送带的速度v=2m/s，方向如图中箭头所示，现在将一个小煤块轻放在传送带的A端，已知煤块与传送带间的动摩擦因数为0.5，求：（g取10m/s²）
（1）煤块到达B点的速度；
（2）煤块落地点与C点的水平距离s（忽略传送带转轮的大小）；
（3）整个过程中煤块在传送带上留下的痕迹有多长．

Answer 1

分析 （1）小煤块先沿传送带匀加速下滑，利用牛顿第二定律求出加速度，由速度位移公式求出从开始到小煤块能与传送带达到共同速度所通过的位移，判断出共速之后小煤块的运动情况，再由牛顿第二定律和运动学公式结合求解煤块到达B点的速度．
（2）小煤块过B点后开始减速运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出煤块到达C点时的速度．煤块离开C点后做平抛运动，再由平抛运动的规律求煤块落地点与C点的水平距离s．
（3）整个过程中煤块在传送带上留下的痕迹长度等于煤块与传送带相对位移的大小，由运动学公式分段求解．

解答 解：（1）小煤块刚放到传送带上时，由牛顿第二定律得：
  mgsinθ+μmgcosθ=ma₁；
代入数据得：a₁=10m/s²．
因为x₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=0.2m＜L₂，所以小煤块能与传送带达到共同速度．     
此后，由于μ＜tanθ，小煤块继续做匀加速运动，由牛顿第二定律得：
  mgsinθ-μmgcosθ=ma₂；
代入数据得：a₂=2m/s²．
位移 x₂=L₂-x₁=3m
由${v}_{B}^{2}-{v}_{\;}^{2}$=2a₂x₂．                             
代入数据得：v_B=4m/s                          
（2）小煤块过B点后开始减速运动：
-μmg=ma₃；得 a₃=-5m/s²．
匀减速过程的位移：x₃=$\frac{{v}^{2}-{v}_{3}^{2}}{2{a}_{3}}$=1.2m＜L₁                  
所以小煤块减速运动1.2m后与传送带一起匀速运动，到达C点后平抛，初速度为v，则
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  s=vt                    
代入数据得：s=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m
（3）①小煤块从A点运动到与传送带共速过程用时：
 t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=0.2s
传送带的位移：x₁′=vt₁=0.4m
小煤块相对于传送带的位移：△x₁=x₁-x₁′=-0.2m                
②小煤块从共速运动到B点的过程：
  t₂=$\frac{v-{v}_{B}}{{a}_{2}}$=1s
传送带的位移：x₂′=vt₂=2m
小煤块相对于传送带的位移：△x₂=x₂-x₂′=1m                 
③小煤块从B点运动到与传送带再次共速的过程：
  t₃=$\frac{v-{v}_{B}}{{a}_{3}}$=0.4s
传送带的位移：x₃′=vt₃=0.8m
小煤块相对于传送带的位移：△x₃=x₃-x₃′=0.4m                     
综上，整个过程中煤块在传送带上留下的痕迹 l=△x₂+△x₃=1.4m
答：（1）煤块到达B点的速度是4m/s；
（2）煤块落地点与C点的水平距离s是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m；
（3）整个过程中煤块在传送带上留下的痕迹有1.4m长．

点评 本题关键分析物体的运动状态，由牛顿第二定律和运动学公式联立列式求解，要注意研究煤块与传送带速度相同这个临界状态，分析此状态后煤块的运动情况．