Question

16．如图所示，半径r=0.4m的圆形区域内有垂直圆面向外的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，带电粒子的比荷（$\frac{q}{m}$）为1.0×10⁵C/kg．粒子经一电压U=6×10³V的电场加速后，正对圆心O的垂直射入磁场．（不计带电粒子重力）求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径
（2）粒子在磁场中的运动时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子速度跟电场方向相同做匀加速运动；通过动能定理便可求出速度大小；
（2）一定速度的带电粒子进入磁场，将速度代入可得到相关的半径大小，再通过跟圆形磁场的半径对比，由入射速度跟粒子做圆周运动的半径垂直的几何关系可得到做圆周运动的圆心，和对称关系可以得到粒子做在磁场中做圆周运动的圆心角，由圆心角的大小便可求粒子在磁场中的运动时间．

解答 解：
（1）带电粒子在加速电场中 $qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
则带电粒子经加速电场加速后的速度为$v=2\sqrt{3}×1{0}^{4}m/s$
带电粒子在磁场中，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{R}$
则粒子在磁场中做圆周运动的半径$R=\frac{mv}{Bq}=0.4\sqrt{3}m$
（2）设粒子在磁场中绕过的圆心角为θ，由几何关系得$tan\frac{θ}{2}=\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
则θ=60°
所以带电粒子在磁场中的运动时间为$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{60°}{360°}•\frac{2πm}{Bq}=\frac{2π}{3}×1{0}^{-5}s$
答：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径为$0.4\sqrt{3}m$
（2）粒子在磁场中的运动时间为$\frac{2π}{3}×1{0}^{-5}s$．

点评 本题考查带电粒子通过电场加速运动和在有界圆形磁场中的运动，入射速度跟粒子做圆周运动的半径垂直和半径大小可知圆心的具体位置，从而画出粒子的运动轨迹，通过几何关系得到圆心角大小，再由周期公式得到所求．要求同学们熟练掌握带点粒子在磁场运动的半径和周期基本公式，难度适中．