Question

18．如图，光滑水平面AB与竖直面的半圆形导轨在B点相连接，导轨半径为R，一质量为m的静止木块在A处压缩弹簧，释放后，木块获得一向右的初速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力是其重力的7倍，之后向上运动恰能通过轨道顶点C，不计空气阻力，试求：
（1）弹簧对木块所做的功；
（2）木块从B到C过程中克服摩擦力做的功；
（3）木块离开C点到落回水平面的水平距离．

Answer 1

分析 （1）研究物体经过B点的状态，根据牛顿运动定律求出物体经过B点的速度，得到物体的动能，物体从A点至B点的过程中机械能守恒定律，弹簧的做的功等于体经过B点的动能；
（2）物体恰好到达C点时，由重力充当向心力，由牛顿第二定律求出C点的速度，物体从B到C的过程，运用动能定理求解克服阻力做的功；
（3）物体离开轨道后做平抛运动，运用运动的合成和分解法求出物体离开C点到落回水平面的水平距离．

解答 解：（1）物块在B点时，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
由题意：F_N=7mg
物体经过B点的动能：E_kB=$\frac{1}{2}$mv_B²=3mgR     
在物体从A点至B点的过程中，根据动能定理，弹簧的做的功：W=E_kB=3mgR．
（2）物体到达C点仅受重力mg，根据牛顿第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
得${v}_{c}=\sqrt{gR}$
又：E_kC=$\frac{1}{2}$mv_C²=$\frac{1}{2}$mgR
物体从B点到C点只有重力和阻力做功，根据动能定理有：W_阻-mg•2R=E_kC-E_kB
解得：W_阻=-0.5mgR
所以物体从B点运动至C点克服阻力做的功为：W=0.5mgR．
（3）物体离开轨道后做平抛运动，
水平方向有：${v_x}={v_c}=\sqrt{gR}$，x=v_x•t
坚直方向有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立得：x=2R．
答：（1）弹簧开始时的弹性势能是3mgR；
（2）物体从B点运动至C点克服阻力做的功为0.5mgR；
（3）木块离开C点到落回水平面的水平距离是2R．

点评 本题的解题关键是根据牛顿第二定律求出物体经过B、C两点的速度，再结合动能定理、平抛运动的知识求解．