Question

如图所示，位于竖直平面上的

1

4

圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，圆弧轨道上端A点距地面高度为H，质量为m的小球从A点静止释放，最后落在地面C点处，不计空气阻力．求：
（1）小球刚运动到B点时，对轨道的压力多大？
（2）小球落地点C与B的水平距离S为多少？
（3）比值

R

H

为多少时，小球落地点C与B水平距离S最远？该水平距离的最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）小球由A→B过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球从B点抛出后做平抛运动，根据平抛运动的位移公式求解；
（3）利用数学知识分析水平位移的表达式即可求解水平位移的最大值．

解答：解：（1）小球沿圆弧做圆周运动，在B点由牛顿第二定律，有：NB-mg=m

vB2

R

；
从A到B，以B点为零势能点，由机械能守恒定律，有：mgR=

1

2

mvB2，
由以上两式得：N_B=3mg；
（2）小球离开B点后做平抛运动，抛出点高为H-R，有：H-R=

1

2

gt2，
s=v_Bt，
vB=

2gR

，
解得：s=

4HR-4R2

=

H2-(2R-H)2

．
（3）由（2）可知，当2R=H时，即

R

H

=

1

2

时，S有最大值，
即s_max=H；
答：
（1）小球刚运动到B点时，对轨道的压力为3mg．
（2）小球落地点C与B的水平距离S为

H2-(2R-H)2

．
（3）比值

R

H

为

1

2

时，小球落地点C与B水平距离S最远，该水平距离的最大值是H．

点评：本题关键对两个的运动过程分析清楚，然后选择机械能守恒定律和平抛运动规律列式求解．考查运用数学知识处理物理问题的能力．