Question

12．如图所示，竖直放置的半圆形绝缘轨道半径为R，下端与光滑绝缘水平面平滑连接，整个装置处于方向竖直向上的匀强电场中，场强为E，一质量为m、带电量为+q的物块（可视为质点），从水平面上的A点以初速度v₀水平向左运动，沿半圆形轨道恰好能通过最高点C，已知场强大小E＜$\frac{mg}{q}$，不计空气阻力，则
（1）物块在运动过程中摩擦力做的功是多少？
（2）证明物块离开C点落回到水平面的水平射程与场强大小E和质量m均无关．

Answer 1

分析 （1）物块恰能通过圆弧最高点C，由重和电场力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出物块通过最高点C时的速度；物块在运动过程中，重力做负功，电场力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理求解克服摩擦力做的功；
（2）物块离开半圆形轨道后做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由运动学公式即可证明．

解答 解：（1）物块恰能通过圆弧最高点C，圆弧轨道此时与物块间无弹力作用，物块受到的重力和电场力提供向心力，则有：
mg-Eq=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$…①
解得：v_C=$\sqrt{R（g-\frac{qE}{m}）}$…②
物块在由A运动到C的过程中，设物块克服摩擦力做的功W_f，根据动能定理有：Eq•2R-W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…③
解得：W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+$\frac{5}{2}$（Eq-mg）R…④
（2）物块离开半圆形轨道后做类平抛运动，设水平位移为s，则有：
 s=v_Ct…⑤
 2R=$\frac{1}{2}$（g-$\frac{qE}{m}$）t²…⑥
由⑤⑥联立解得：
s=2R…⑦
因此，物块离开轨道落回水平面的水平距离与场强大小E无关，大小为2R．
答：（1）物块在运动过程中克服摩擦力做的功是$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+$\frac{5}{2}$（Eq-mg）R．
（2）证明见上．

点评 本题是向心力与动能定理、平抛运动等等知识的综合，关键要抓住物块恰能通过最高点C的临界条件，求出临界速度．