Question

18．如图所示，一比荷$\frac{q}{m}$=2×10⁸c/kg的带正电粒子（重力忽略不计）以初速度v=6π×10⁶m/s从x轴上P点垂直进入上方的匀强磁场区域，已知x轴上方匀强磁场磁感应强度的大小为B₁=$\frac{π}{2}$（T），x轴下方的匀强磁场磁感应强度的大小为B₂=π（T）．求：
（1）粒子在磁场B₁和磁场B₂中轨迹半径r₁和r₂；
（2）粒子在磁场B₁和磁场B₂中轨迹半径T₁和T₂；
（3）此粒子经多长时间能到达x轴上距出发点P 为18cm处的Q点？

Answer 1

分析 （1）、（2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据向心力公式及周期公式求出粒子在B₁磁场中的半径和周期、粒子在B₂磁场中的半径和周期．
（3）根据半径和周期的关系画出粒子运动的轨迹图；根据图象判断粒子可能几次经过Q点，根据运动时间与周期的关系求出运动的时间．

解答 解：（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有：
Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{mv}{qB}$
得到粒子在B₁磁场中的半径：r₁=$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=$\frac{6π×1{0}^{6}}{2×1{0}^{8}×\frac{π}{2}}$m=0.06m
粒子在B₂磁场中的半径：r₂=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$=$\frac{6π×1{0}^{6}}{2×1{0}^{8}×π}$m=0.03m
（2）粒子在磁场中运动的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$，
则有粒子在B₁磁场中的周期：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=$\frac{2π}{2×1{0}^{8}×\frac{π}{2}}$s=2×10^-8s
粒子在B₂磁场中的周期：T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=1×10^-8 s
（3）作出粒子运动的轨迹如图所示．x_PQ=18cm，由图可知，经过Q点有两种可能：
可能是第一次从B₁进入B₂时经过Q点，也可能是第二次从B₂进入B₁时经过Q点．
则第一次所用时间为：t₁=T₁+$\frac{1}{2}$T₂=2×10^-8+0.5×10^-8=2.5×10^-8 s
第二次所用时间为：t₂=$\frac{3}{2}$T₁+$\frac{3}{2}$T₂=3×10^-8+1.5×10^-8=4.5×10^-8 s
答：（1）粒子在磁场B₁和磁场B₂中轨迹半径r₁和r₂分别为0.06m和0.03m．
（2）粒子在磁场B₁和磁场B₂中轨迹半径T₁和T₂分别为2×10^-8s和1×10^-8 s．
（3）此粒子经4.5×10^-8 s时间能到达x轴上距出发点P 为18cm处的Q点．

点评 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由此得出半径和周期的关系是解决本题的关键，根据题意给出的条件作出粒子运动轨迹．