Question

13．“嫦娥一号”探月卫星的路线简化后的示意图如图所示．卫星由地面发射后经过“发射轨道”进入“停泊轨道”，然后在停泊轨道经过调速后进入“地月转移轨道”，再次调速后进入“工作轨道”，开始对月球进行探测．若地球与月球的质量之比为$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}$=a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=b，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动．
（1）求：卫星在停泊轨道和工作轨道运行时的周期之比$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$．
（2）探月卫星在地月转移轨道上运行时，所受两者的万有引力的合力有没有可能等于零？如果你认为没有，请说明理由？如果你认为有，请求出此时探月卫星距地、月中心的距离之比$\frac{{L}_{1}}{{L}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，求出周期，看与什么因素有关，然后求出周期之比；
（2）当嫦娥一号处于地月间某个位置时，可能所受合力为零，根据万有引力定律求得距离之比．

解答 解：（1）根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$
所以可得$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}}{（\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}）}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{3}}{a}}$
（2）嫦娥一号在月地间某个位置时只受地球和月球的万有引力，其合力可以为零，根据合力为零的条件可知
$\frac{G{M}_{1}m}{{L}_{1}^{2}}=G\frac{{M}_{2}m}{{L}_{2}^{2}}$
可得$\frac{{L}_{1}}{{L}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}}$=$\sqrt{a}$
答：（1）卫星在停泊轨道和工作轨道运行时的周期之比为$\sqrt{\frac{{b}^{3}}{a}}$
（2）探月卫星所受地球和月球的万有引力合力可以为零，此时探月卫星距地、月中心的距离之比为$\sqrt{a}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供环绕天体匀速圆周运动的向心力表示出需要比较的物理量再根据已知量求解．