Question

如图7所示，竖直平面内的

3

4

圆弧形光滑轨道半径为 R，A 端与圆心 O 等高，AD 为水平面，B 点为光滑轨道的最高点且在O 的正上方，一个小球在 A 点正上方某处由静止释放，自由下落至 A 点进入圆轨道并知通过 B 点时受到轨道的弹力为mg（从A点进入圆轨道时无机械能损失），最后落到水平面 C 点处．求：
（1）释放点距 A 点的竖直高度 h和落点 C 到 A 点的水平距离x；
（2）如果将小球由h=R处静止释放，请问小球能否通过最高点B点，如果不能通过，请求出脱离圆轨道的位置E与O的连线与竖直方向夹角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）的关键是小球在B点时列出牛顿第二定律方程，再结合动能定理和平抛规律即可求解．
（2）的关键是先假设小球能到最高点，根据牛顿第二定律求出到达最高点的最小速度为

gR

，与动能定理矛盾，说明不能到达最高点，然后设出E与O点连线的夹角，再根据动能定理和脱离轨道时牛顿第二定律即可求解．

解答：解：（1）小球通过最高点B时，由牛顿第二定律，有：
mg+F_N=m

vB2

R

又F_N=mg
解得：vB=

2gR

设释放点到A点高度为h，小球从释放到运动至B点的过程中，
根据动能定理，有：mg（h-R）=

1

2

mvB2
解得：h=2R，
由平抛规律：R=

1

2

gt2
x=v_Bt，
联立解得x=2R，所以C点距A点距离：△x=2R-R=R
即释放点距A点的竖直高度h为2R，落点C到A点的水平距离为R．
（2）小球到达B点时最小速度为v，有：mg=m

v 2

R

若能到达最高点应满足mgR=

1

2

mv2+mgR，显然不可能成立，即不能到最高点．
设到最高点E的速度为v_E，
E与O的连线与竖直方向夹角θ，由动能定理有：mgR（1-cosθ）=

1

2

mvE2…①，
在E点脱离轨道时有：mgcosθ=m

vE2

R

…②
联立①②解得：cosθ=

2

3

所以：sinθ=

5

3

答：（1）释放点距 A 点的竖直高度 h和落点 C 到 A 点的水平距离为R；
（2）如果将小球由h=R处静止释放，小球不能通过最高点B点，小球脱离圆轨道的位置E与O的连线与竖直方向夹角的正弦值为

5

3

．

点评：小球在内侧轨道到达最高点时的最小速度应满足mg=m

v 2

R

，脱离轨道时应满足mgcosθ=m

v 2

R

，小球运动过程可利用动能定理或机械能守恒定律列式求解，小球平抛运动则利用平抛规律求解．