Question

7．若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T₁（地球自转周期），一年的时间T₂（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离L₁，地球中心到太阳中心的距离L₂，求：
（1）地球的质量M_地；
（2）太阳的质量M_太；
（3）地球的密度ρ．

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力求出地球的质量，根据地球绕太阳公转，靠万有引力提供向心力，求出太阳的质量，根据密度公式求ρ

解答 解：（1）根据万有引力等于重力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得地球质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
（2）根据万有引力提供向心力有$G\frac{M′m}{{L}_{2}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{L}_{2}^{\;}$
解得太阳质量$M′=\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$
（3）根据密度公式$ρ=\frac{m}{V}$且$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
将地球质量$ρ=\frac{3g}{4πGR}$
答：（1）地球的质量${m}_{地}^{\;}$为$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$；
（2）太阳的质量${M}_{太}^{\;}$为$\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$；
（3）地球的密度ρ为$\frac{3g}{4πGR}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力，以及万有引力提供向心力这两大理论，并能熟练运用．