Question

6．如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O₁、O₂和质量m_B=M的小球B连接，另一端与套在光滑直杆上质量m_A=m的小物块A连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ=53°，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮O₁的距离为L，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰．将小物块从C点由静止释放．sin53°=0.8，cos53°=0.6），重力加速度为g=10m/s²．求：
（1）若A恰能下滑至小定滑轮O₁的正下方，则$\frac{M}{m}$等于多少？
（2）若L=0.85m，小球B到达最低点时，球A的速度大小v=3.4m/s，则$\frac{M}{m}$等于多少？
（3）若M=m，L=0.9m，求小物块A能下滑的最大距离S_m．

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒得到AB的机械能守恒，进而根据几何关系得到比值；
（2）同（1）类似，由机械能守恒求解；
（3）根据几何关系由机械能守恒求解．

解答 解：（1）由能量守恒知此过程系统的机械能不变，又有初末状态无动能增加，故A势能减少量等于B势能增加量，即mgLtanθ=Mg（Ltanθ-L）；所以，$\frac{M}{m}$=4；
（2）小物块从C点由静止释放，当连接A的细绳与直杆恰垂直时此小球B到达最低点且速度恰为零，对系统由机械能守恒得：$-mgLcosθsinθ-Mg（L-Lsinθ）+\frac{1}{2}m{v}^{2}=0$；
所以，$\frac{M}{m}$=1；
（3）小物块A下滑到最低处时A、B速度为零，根据机械能守恒得：$mg{s}_{m}sinθ=Mg[\sqrt{（L-{s}_{m}cosθ）^{2}+（{s}_{m}sinθ）^{2}}-L]$；所以，s_m=7m；
答：（1）若A恰能下滑至小定滑轮O₁的正下方，则$\frac{M}{m}$等于4；
（2）若L=0.85m，小球B到达最低点时，球A的速度大小v=3.4m/s，则$\frac{M}{m}$等于1；
（3）若M=m，L=0.9m，小物块A能下滑的最大距离S_m为7m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．