Question

17．如图所示，MNPQ是一个足够长的处于竖直平面内的固定的金属框架，框架的宽度为L，电阻忽略不计．ab是一根质量为m，有一定电阻的导体，能紧贴框架无摩擦下滑，整个框架平面处于垂直于框架平面的匀强磁场中，磁感强度为B．当单刀双掷开关S置于1位置时，导体ab恰好静止在框架的某一处．已知电源的电动势为ε，内阻为r．
（1）匀强磁场的方向如何？
（2）当开关S置于2位置时，导体ab由静止开始下落，试写出ab下落运动的分析过程，并用所给的物理量表达ab在下落过程中的最大速度．
（3）ab达到最大速度的$\frac{3}{4}$时，其加速度大小是多大？
（4）如果ab由静止开始下落到达到最大速度所用的时间为t，下落高度为h．试推导则该过程中h和t应满足的不等式关系？

Answer 1

分析 （1）当单刀双掷开关S置于1位置时，导体ab恰好静止，受力平衡，必定受到向上的安培力，由左手定则判断磁场的方向；
（2）当开关S置于2位置时，导体ab由静止开始下落，棒受到重力和安培力，开始阶段安培力小于重力，棒做加速度减小的加速运动，当两力平衡时，棒做匀速运动，达到稳定状态，根据安培力的表达式，由平衡条件求出最大速度；
（3）ab达到最大速度的$\frac{3}{4}$时，先求出安培力，再根据牛顿第二定律求加速度；
（4）作出ab运动过程的υ-t图线：ab初始加速度为g，即图线在原点的切线斜率为g．运动过程下落距离h即为图线曲线部分所包的“面积”，它介于图示“梯形面积”和“三角形面积”之间．即可得到h和t应满足的不等式关系．

解答 解：（1）当单刀双掷开关S置于1位置时，导体ab恰好静止，受到的安培力向上，由左手定则判断得知：磁场方向垂直纸面向内．
（2）S接1时，由平衡条件得：mg=F
又 F=BIL=B$\frac{ε}{R+r}$L  ①
S接2时，刚开始ab下落的加速度为g，接着加速运动时受重力和安培力作用，由牛顿第二定律得：mg-F=ma
随着速度υ的增大，感应电动势也随着增大，感应电流也增大，从而使安培力F增大，从而导致加速度a的减小，最终安培力达到和重力平衡而做匀速运动，因而有：
  mg=F=BIL=B$\frac{BL{v}_{m}}{R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$ ②
由①得R代入②整理后得：最大速度为 υ_m=$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）由②可知，当ab达到最大速度的$\frac{3}{4}$时，安培力为 F=$\frac{3}{4}$mg，因此有：
   mg-F=ma
解得，a=$\frac{1}{4}$g．
又因为，ab切割磁感线产生感应电动势，其电阻相当于电源内阻，而据题意，框架电阻不计，因而外电阻为0，从而使ab两端的电压（端电压）为0．
（4）作出ab运动过程的υ-t图线：
ab初始加速度为g，即图线在原点的切线斜率为g．运动过程下落距离h即为图线曲线部分所包的“面积”，它介于图示“梯形面积”和“三角形面积”之间．
故有：$\frac{1}{2}$υ_m（2t-$\frac{{v}_{m}}{g}$）＞h＞$\frac{1}{2}$υ_mt
将（2）中求的υ_m值代入得：$\frac{1}{2}$（$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）（2t-$\frac{?}{BLg}$+$\frac{mr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）＞h＞$\frac{1}{2}$（$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）t
答：（1）匀强磁场的方向垂直纸面向内；
（2）S接2时，导体棒ab先做加速度减小的变加速运动，最终做匀速运动，最大速度为$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）当ab达到最大速度的$\frac{3}{4}$时，其加速度大小是$\frac{1}{4}$g．
（4）该过程中h和t应满足的不等式关系为$\frac{1}{2}$（$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）（2t-$\frac{?}{BLg}$+$\frac{mr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）＞h＞$\frac{1}{2}$（$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）t．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，分析和计算安培力是关键，同时要抓住v-t图象的物理意义分析h与t的关系式．