Question

11．如图所示的空间有一竖直向下的匀强电场，场强E=2×10³N/C，有一个可视为质点的质量为m=1kg，电荷量q=+1×10^-3C的小物块，从光滑平台上的A点以v₀=2m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=3kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，圆弧轨道的半径为R=0.4m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=60°，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）AC之间的竖直高度h；
（2）小物块刚到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多大．

Answer 1

分析 （1）根据物块到达C点时速度沿圆弧轨道切线方向，由速度的分解法，求出物块到达C点的速度，根据能量守恒求解电荷自A点到C点的竖直高度；
（2）根据动能定理求出物块到达D点时的速度，由牛顿第二定律和向心力公式结合求解轨道对物块的支持力，再由牛顿第三定律得到物块对轨道的压力；
（3）物块滑上木板后，两者组成的系统动量守恒．当小物块刚好不滑出长木板时，两者的速度相等，由动量守恒求出共同速度，再由能量守恒求解木板的最小长度．

解答 解：（1）设物块滑到C点的速度大小为v_C．
物块从A到C过程做类平抛运动，据题：物块到达C点时速度沿圆弧轨道切线方向，将速度分解，则有：
v_Ccosθ=v₀；
解得：
v_C=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{2}{cos60°}$=4m/s
设AB间的高度为h．自A点到C点，根据动能定理得：
（mg+qE）h=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：h=0.5m，
（2）小物块由C到D的过程中，由动能定理得：
  qER（1-cos60°）+$mgR（1-cos60°）=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
小球在D点时由牛顿第二定律得：
 F_N-mg-qE=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：F_N=83N．
由牛顿第三定律得，小物块刚到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力为83N，方向竖直向下．           
（3）由上题解得：v_D=
当小物块刚好不滑出长木板时，两者的速度相等，设共同速度的大小为v．
以物块和木板组成的系统为研究对象，取向左为正方向，则根据系统的动量守恒得：
mv_D=（m+M）v
根据能量守恒定律得：
μ（mg+qE）L=$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$，
联立解得：L≈2.5m
答：
（1）AC之间的竖直高度h=0.5m；
（2）小物块到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力是83N；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度是2.5m．

点评 本题关键要正确分析物块的受力情况和运动情况，以及功能关系，把握住每个过程所遵守的物理规律，特别是物块在木板上滑动时系统所受的合力为零，系统的动量守恒，根据能量守恒是求解木板长度常用的方法．