Question

7．竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B，一质量为m的小球从入口A沿圆筒内壁切线方向水平射入圆筒内，要使球从B处飞出，不计空气阻力，则：
（1）小球进入入口A处的速度v₀应满足什么条件？
（2）在运动过程中，球对筒的压力多大？

Answer 1

分析 （1）将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，在水平方向上做匀速圆周运动，在竖直方向上做自由落体运动，抓住等时性以及圆周运动的周期性进行求解．
（2）小球对筒的压力的大小等于小球做圆周运动时所需要的向心力F_n，结合牛顿第二定律即可求出．

解答 解：（1）射进圆筒的小球受重力影响，做自由落体运动，如从上落到下需要时间t，
则$h=\frac{1}{2}g{t^2}$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
水平射入的小球绕筒壁做匀速圆周运动，每圈需要时间$T=\frac{2πR}{v_0}$
假如小球绕筒壁旋转n圈到底，那么t=nT （n=1，2，3，…）
得：${v_0}=\frac{{nπR\sqrt{2gh}}}{h}$（n=1，2，3，…） 
（2）小球对筒的压力的大小等于小球做圆周运动时所需要的向心力F_n，
所以：${F_n}=\frac{mv_0^2}{R}=\frac{{2mgR{n^2}{π^2}}}{h}$（n=1，2，3，…） 
答：（1）小球进入入口A处的速度v₀应满足：${v_0}=\frac{{nπR\sqrt{2gh}}}{h}$（n=1，2，3，…）
（2）在运动过程中，球对筒的压力是$\frac{2mgR{n}^{2}{π}^{2}}{h}$（n=1，2，3，…）

点评 解决本题的关键掌握曲线运动的处理方法，抓住等时性以及在水平方向上运动的周期性进行求解．