Question

8．圆柱形喷雾器高为h，内有高度为$\frac{h}{2}$的水，上部封闭有压强为p₀、温度为T₀的空气．将喷雾器移到室内，一段时间后打开喷雾阀门K，恰好有水流出．已知水的密度为ρ，大气压强恒为p₀，喷雾口与喷雾器等高．忽略喷雾管的体积，将空气看作理想气体．
（1）求室内温度．
（2）在室内用打气筒缓慢向喷雾器内充入空气，直到水完全流出，求充入空气与原有空气的质量比．

Answer 1

分析 （1）根据水面的高度差列压强的平衡方程，忽略喷雾管的体积，故为等容变化，再根据查理定律即可求出室内的温度；
（2）根据平衡和玻意耳定律可得求出水完全流出时喷雾器内空气的压强，求出初始状态喷雾器内的气体的压强等于末态压强时的体积，再利用同温度下同种气体的质量比等于体积比，即可求出充入空气与原有空气的质量比．

解答 解：（1）设喷雾器的截面积为S，室内温度为${T}_{1}^{\;}$，气体压强为${p}_{1}^{\;}$：
根据平衡可得：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+ρg\frac{h}{2}$
气体体积为：${V}_{0}^{\;}=\frac{h}{2}S$，保持不变，
故气体做等容变化，根据查理定律：$\frac{{p}_{0}^{\;}+ρg\frac{h}{2}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{0}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}$
可得：${T}_{1}^{\;}=（1+\frac{ρgh}{2{p}_{0}^{\;}}）{T}_{0}^{\;}$
（2）以充气结束后喷雾器内空气为研究对象，排完液体后，压强为${p}_{2}^{\;}$，体积为${V}_{2}^{\;}$．
若此气体经等温度变化，压强为${p}_{1}^{\;}$时，体积为${V}_{3}^{\;}$：
根据平衡可得：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+ρgh$
根据玻意耳定律可得：${p}_{1}^{\;}{V}_{3}^{\;}={p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}$
即：$（{p}_{0}^{\;}+ρg\frac{h}{2}）{V}_{3}^{\;}=（{p}_{0}^{\;}+ρgh）hS$
同温度下同种气体的质量比等于体积比，设打进气体质量为△m：
$\frac{△m}{{m}_{0}^{\;}}=\frac{{V}_{3}^{\;}-{V}_{0}^{\;}}{{V}_{0}^{\;}}$
解得：$\frac{△m}{{m}_{0}^{\;}}=\frac{{p}_{0}^{\;}+\frac{3}{2}ρgh}{{p}_{0}^{\;}+ρg\frac{h}{2}}$=$\frac{2{p}_{0}^{\;}+3ρgh}{2{p}_{0}^{\;}+ρgh}$
答：（1）室内温度$（1+\frac{ρgh}{2{p}_{0}^{\;}}）{T}_{0}^{\;}$；
（2）在室内用打气筒缓慢向喷雾器内充入空气，直到水完全流出，充入空气与原有空气的质量比$\frac{2{p}_{0}^{\;}+3ρgh}{2{p}_{0}^{\;}+ρgh}$．

点评 本题为气体定律的综合运用，解题关键是要分析好过程，选择合适的规律解决问题，（2）问为变质量问题，运用等效替代法，同温度下同种气体的质量比等于体积比，难度较大．