Question

2．在太空探索者协会第27届年会上，中方大会主席杨利伟透露：2016年我国将发射“天宫二号”空间实验室，并发射“神舟十一号”载人飞船与“天宫二号”交会对接．飞船与“天宫二号”空间实验室交会对接前，假设“天宫二号”受到空气阻力从圆轨道1变轨至圆轨道2，已知地球半径为R，轨道1距地面的髙度h₁，轨道2距地面的高度为h₂，已知圆轨道1和圆轨道2高度之差△h=h₁-h₂（很小），轨道所在处的重力加速度可表示为g，“天宫二号”的质量为m，则关于“天宫二号”的变轨过程，下列说法正确的是（　　）

• A． 变轨前后线速度大小的比值为$\sqrt{\frac{R+{h}_{1}}{R+{h}_{2}}}$
• B． 变轨前后周期的比值为$\sqrt{\frac{（R+{h}_{1}）^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}}$
• C． 变轨前后向心加速度大小的比值为$\frac{（R+{h}_{1}）^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}$
• D． 变轨前后克服阻力做功为mg•△h

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出线速度、周期与轨道半径的关系式，结合轨道半径之比求出线速度和周期之比，结合动能定理求出变轨前后克服阻力做功的大小．

解答 解：ABC、根据$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，线速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，周期$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}r3}{GM}}$，因为变轨 前后轨道半径分别为$R+{h}_{1}^{\;}$，$R+{h}_{2}^{\;}$，则变轨前后的线速度之比为$\sqrt{\frac{R+{h}_{2}^{\;}}{R+{h}_{1}^{\;}}}$，变轨前后的周期之比$\sqrt{\frac{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{3}}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{3}}}$，向心加速度的比值为$\frac{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}$，故A错误，B正确，C错误．
D、根据动能定理得，$mg△h-{W}_{f}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m\frac{GM}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}-\frac{1}{2}m\frac{GM}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}$①
根据$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得$GM=g{R}_{\;}^{2}$②
联立得${W}_{f}^{\;}=\frac{1}{2}mg{R}_{\;}^{2}（\frac{1}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}-\frac{1}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}）$≠$mg（{h}_{1}^{\;}-{h}_{2}^{\;}）$，即${W}_{f}^{\;}≠mg△h$，故D错误．
故选：B

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道线速度、周期与轨道半径的关系，对变轨前后，注意动能的变化量不为零．