Question

如图甲所示，一竖内的轨道由粗糙斜面AD和光滑圆轨道DCE组成，AD与DCE 相切于D点，C为圆轨道的最低点．将物块置于轨道ADC上离地面高为 H处由静止下滑，用力传感器测出其经过C点时对轨道的压力N，改变H的大小，可测出相应的N大小，N随H的变化关系如图乙折线PQI所示（PQ与QI两直线相连接于Q点），QI反向延长交纵轴于F点（0，5.8N），重力加速度g取10m/s²，求：
（1）小物块的质量m．
（2）圆轨道的半径及轨道DC所对圆心角?（可用角度的三角函数值表示）．
（3）小物块与斜面AD间的动摩擦因数μ．

Answer 1

分析：（1）从图象得到H=0时的弹力，即为物体的重力，从而得到物体的质量m；
（2）结合图象可以得到当H=0.2m时，物体恰好在斜面最低点，根据机械能守恒定律和向心力公式联立列式求解出圆轨道的半径R，然后可根据几何关系得到轨道DC所对圆心角；
（3）对滑块从最高点到C点的过程运用动能定理列式，再对最低点运用向心力公式和牛顿第二定律列式，联立后求解出弹力的一般表达式，再根据图象求解出动摩擦因素．

解答：解：（1）由图线PQ知：当H₁=0时，N₁=5N，此时N₁=mg 故m=0.5kg
即小物块的质量m为0.5kg．
（2）由图线知：当H₂=0.2m时，N₂=7N，此时小物块恰好由D点下滑
由mgH₂=

1

2

m

v

2 2

和N₂-mg=m

v 2 2

R

得R=1m
cosθ=

R-H

R

=0.8
即θ=arccos0.8=37°
即圆轨道的半径为1m，轨道DC所对圆心角为37°．
（3）小球从高为H处的斜面上滑到最低点过程．根据动能定理，有
  mgH-μmgcosθ

H-0.2

sinθ

=

1

2

mv²
得：mv²=2mgH-

4

3

μmg（H-0.2）
在最低点，支持力和重力的合力提供向心力，有
  N-mg=m

v2

R

解得 N=mg+m

v2

R

=

2mg- 4 3 μmg

R

H+

0.8

3

μmg+mg
结合QI曲线，

2mg- 4 3 μmg

R

=6
解得μ=0.6
答：
（1）小物块的质量m为0.5kg．
（2）圆轨道的半径及轨道DC所对圆心角37°．
（3）小物块与斜面AD间的动摩擦因数μ为0.6．

点评：本题关键是对分析清楚滑块的各个运动过程，然后运用动能定理、机械能守恒定律和向心力公式，结合图象联立方程组求解．