Question

3．如图所示，摆长L=1m的小球A（质量为m_A）由平衡位置O拉倒其悬线与竖直方向α=5°角，由静止释放，A球下摆时与静止在其平衡位置O点处的B球（质量为m_B）发生正碰，碰撞后两球速率相等，且等于碰前A球速度的$\frac{1}{3}$．碰撞后A球倍弹回，B球向右在光滑水平轨道上运动，后又滑上倾角为30°的足够长的光滑斜轨道．（取g=10m/s²，π=$\sqrt{g}$，cos5°=0.9875，B球经过水平面和斜面的交点处时无机械能的损失，不计空气阻力）求：
（1）若无B球，A求被释放后作单摆运动，求单摆的周期T；
（2）A与B碰前的瞬间绳对A的拉力是A球重力的多少倍
（3）若B为带正电的绝缘球（AB碰撞时B的电荷量不变），电荷量为q，在斜面处有沿斜面向上的匀强电场E=$\frac{{m}_{B}g}{4q}$，水平光滑轨道的长度x满足什么条件才能使小球B从斜面上返回后正好与小球A在平衡位置O点处迎面相碰．

Answer 1

分析 （1）根据单摆周期公式可以求出A的周期．
（2）由机械能守恒定律可以求出A到达底端的速度，由牛顿第二定律可以求出绳子的拉力，然后求出拉力与重力的倍数关系．
（3）根据单摆的运动周期公式和时间关系找B运动的时间，根据B球运动规律求解轨道的长度．

解答 解：（1）单摆的周期：T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$=2s；
（2）A下摆过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m_Av_A²=m_AgL（1-cos5°），
解得：v_A=0.5m/s，
在最低点，由牛顿第二定律得：
F-m_Ag=m_A$\frac{{v}_{A}^{2}}{L}$，
解得：F=1.025m_Ag，
则：$\frac{F}{{m}_{A}g}$=1.025；
（3）由题意可知，A、B两球碰撞后，B球的速度：
v_B=$\frac{1}{3}$v_A=$\frac{1}{6}$m/s，
B与A要在O点要迎面碰撞，要经历的时间为：
t=nT+$\frac{1}{2}$T（n=0，1，2，3，…）
T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，即t=（2n+1）π$\sqrt{\frac{L}{g}}$=（2n+1）s   n=0、1、2、3、…，
由牛顿第二定律得，B在斜面上运动时的加速度大小：
a=$\frac{{m}_{B}gsin30°-qE}{{m}_{B}}$=2.5m/s²，
B碰撞后回到A点的时间为t=$\frac{2x}{{v}_{B}}$+$\frac{2{v}_{B}}{a}$，
解得：x=（$\frac{n}{6}$+$\frac{13}{180}$）m    n=0、1、2、3、…
答：（1）若无B球，A求被释放后作单摆运动，单摆的周期T为2s；
（2）A与B碰前的瞬间绳对A的拉力是A球重力的1.025倍．
（3）轨道的长度x满足条件：x=（$\frac{n}{6}$+$\frac{13}{180}$）m    n=0、1、2、3、…，才能使小球B从斜面上返回后正好与小球A在平衡位置O点处迎面相碰．

点评 此题的关键是找到两个物体运动的时间关系，并能熟练应用动能定理和单摆运动的周期公式以及匀变速运动的规律．