Question

19．如图所示，BCPC′D是由半径为R的圆轨道CPC′与半径为2R的BD圆弧轨道相切于C（C′）点构成的竖直螺旋轨道（类似于游乐园过山车的形状），C、C′间距离可以忽略．PB与竖直径成37°角，轨道光滑，质量为m的小球在B点以一定的初速度沿轨道向下运动，已知重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）要使小球能通过轨道最高点P点，小球初速度应满足什么条件？（计算结果可以用根式表示）
（2）若小球恰好能完成竖直圆周运动的情况下，小球在经过C点时，在C点左右两边对轨道的压力之差．（在C点左右两边相当于分别在两个圆周上过最低点）

Answer 1

分析 （1）先求出使小球刚好能通过轨道最高点P点的速度，即在P点，刚好由重力提供向心力，据此列式求出P点最小速度，再由B到P由动能定理求出小球初速度的最小值．
（2）分别在两个轨道上，根据向心力公式求出压力，再求出压力差即可．

解答 解：（1）要使小球通过P点，$mg+{F}_{N}=m\frac{{{v}_{P}}^{2}}{R}$，
当F_N=0时v_P最小，
最小值${v}_{Pmin}=\sqrt{gR}$
由B到P由动能定理知$\frac{1}{2}m{v}_{Pmin}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=-mg×2Rcos37°$
解得${v}_{0}=\sqrt{4.2gR}$，则小球初速度应满足${v}_{0}≥\sqrt{4.2gR}$，
（2）小球在经过C点时，在C点左右两边相当于分别在两个圆周上过最低点，在左边轨道${N_1}-mg=m\frac{v^2}{2R}$
在右边轨道${N_2}-mg=m\frac{v^2}{R}$，
小球恰好经过P点的速度${v}_{P}=\sqrt{gR}$，
由C到P由动能定理知$\frac{1}{2}mv_P^2-\frac{1}{2}mv_{\;}^2=-mg×2R$，
联立解得：${N_2}-{N_1}=m\frac{v^2}{2R}=\frac{5}{2}mg$
答：（1）要使小球能通过轨道最高点P点，小球初速度应满足${v}_{0}≥\sqrt{4.2gR}$；
（2）若小球恰好能完成竖直圆周运动的情况下，小球在经过C点时，在C点左右两边对轨道的压力之差为$\frac{5}{2}mg$．

点评 本题是复杂的力学问题，对于圆周运动，分析向心力的来源是关键，知恰好经过最高点的条件，要具有解决综合问题的能力，需要加强这方面的练习．