Question

【题目】如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连。小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道。小球由静止从A点释放，已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为l.8R。求：(在运算中，根号中的数值无需算出)

(1)小球滑到斜面底端C时速度的大小。

(2)小球刚到C时对轨道的作用力。

(3)要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R/应该满足什么条件？

Answer 1

【答案】（1） （2）6.6mg，竖直向下（3）

【解析】

试题（1）设小球到达C点时速度为v，a球从A运动至C过程，由动能定理有

（2分）

可得（1分）

（2）小球沿BC轨道做圆周运动，设在C点时轨道对球的作用力为N，由牛顿第二定律

， （2分） 其中r满足 r+r·sin530=1.8R （1分）

联立上式可得：N=6.6mg （1分）

由牛顿第三定律可得，球对轨道的作用力为6.6mg ，方向竖直向下。 （1分）

（3）要使小球不脱离轨道，有两种情况：

情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道。则小球b在最高点P应满足（1分）

小球从C直到P点过程，由动能定理，有（1分）

可得（1分）

情况二：小球上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D。则由动能定理有

（1分）

（1分）

若，由上面分析可知，小球必定滑回D，设其能向左滑过DC轨道，并沿CB运动到达B点，在B点的速度为vB,，则由能量守恒定律有（1分）

由⑤⑨式，可得（1分）

故知，小球不能滑回倾斜轨道AB，小球将在两圆轨道之间做往返运动，小球将停在CD轨道上的某处。设小球在CD轨道上运动的总路程为S，则由能量守恒定律，有（1分）

由⑤⑩两式，可得 S=5.6R （1分）

所以知，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处。 （1分）