Question

19．质量为1kg的杯子里盛有2kg的水，用绳子系住水杯在竖直平面内做圆周运动，转动半径为1m，水杯通过最高点时的速度为4m/s，g=10m/s²，求：
（1）在最高点时，绳的拉力
（2）在最高点时水对杯底的压力
（3）为使水杯经过最高点时水不流出，在最高点时最小速率是多少．

Answer 1

分析 （1、2）对杯子和水整体分析，根据牛顿第二定律求出绳子的拉力，隔离对水分析，通过牛顿第二定律求出杯底对水的压力．
（3）抓住杯底对水的弹力为零，根据重力提供向心力求出最小速度．

解答 解：（1）对杯子和水整体分析，根据牛顿第二定律得：$T+（M+m）g=（M+m）\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：T=$（M+m）\frac{{v}^{2}}{r}-（M+m）g$=$3×\frac{16}{1}-30$N=18N．
（2）对水分析，根据牛顿第二定律得：N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：N=m$\frac{{v}^{2}}{r}-mg=2×16-20=12$N．
（3）根据mg=m$\frac{{{v}_{min}}^{2}}{r}$得：解得v_min=$\sqrt{gr}=\sqrt{10}$m/s，则杯子做圆周运动最小的线速度为$\sqrt{10}$m/s．
答：（1）在最高点时，绳的拉力为18N；
（2）在最高点时水对杯底的压力为12N；
（3）为使水杯经过最高点时水不流出，在最高点时最小速率是$\sqrt{10}$m/s．

点评 解决本题的关键掌握圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，掌握在最高点的临界情况．