Question

13．进入21世纪，低碳环保、注重新能源的开发与利用的理念，已经日益融入生产、生活之中．某节水喷灌系统如图所示，喷口距地面的高度h=1.8m，能沿水平方向旋转，喷口离转动中心的距离a=1.0m，水可沿水平方向喷出，喷水的最大速率v₀=10m/s，每秒喷出水的质量m₀=7.0kg．所用的水是从井下抽取的，井中水面离地面的高度H=3.2m，并一直保持不变．水泵由电动机带动，电动机电枢线圈电阻r=5.0Ω．电动机正常工作时，电动机的输入电压U=220V，输入电流I=4.0A．不计电动机的摩擦损耗，电动机的输出功率等于水泵所需要的最大输入功率．水泵的输出功率与输入功率之比称为水泵的抽水效率．（计算时π取3）试求：
（1）求这个喷灌系统所能喷灌的最大面积S；
（2）假设系统总是以最大喷水速度工作，求水泵的抽水效率η．

Answer 1

分析 （1）水从喷口喷出后做平抛运动，已知高度h和最大的初速度v₀，由平抛运动的规律求出最大的水平位移．喷灌系统所能喷灌的区域是圆形，即求出面积；
（2）水泵的抽水效率η等于水泵的输出功率与输入功率之比．水泵的输入功率等于电动机的输出功率，水泵的输出功率使水获得机械能的功率．

解答 解：（1）水从喷口喷出后做平抛运动，下落高度$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
解得t=$\sqrt{\frac{2×1.8}{10}}$s=0.6s
最大喷灌圆面半径x=a+v₀t=1+10×0.6=7m
喷灌最大面积S=πx²-πa²=3×（7²-1²）=144m²
（2）电动机的输入功率P_电=UI=220×4.0W=880W
电动机的热功率${P_热}={I^2}r={4.0^2}×5.0W=80W$
水泵的输入功率等于电动机的输出功率P_入=P_电-P_热=800W
水泵的输出功率${P}_{出}=\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mg（H+h）}{t}$
其中m=m₀t
求得P_出=700W
水泵效率$η=\frac{P_出}{P_入}×100%=87.5%$
答：（1）这个喷灌系统所能喷灌的最大面积s是144m²；
（2）假设系统总是以最大喷水速度工作，水泵的抽水效率η是87.5%；

点评 本题运用平抛运动和能量守恒定律分析和解决实际问题，抓住能量是如何转化是解题的关键．