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12.如图所示,半径为R的光滑的四分之三圆弧轨道竖直放置,A、C两点分别为轨道的最低点和最高点,一质量为m的小环套在轨道上,小环以水平向右的初速度从A出发经C点后,恰可撞击到D点.求:
(1)小环到达C点瞬间轨道对环的弹力的大小和方向;
(2)设小环撞击到D点后又能套在圆轨道上,那么相对A点能上升的最大高度是多少?

分析 (1)小环从C到D做平抛运动,根据高度求出平抛运动的时间,结合水平位移和时间求出小环通过C点时的速度.在C点,由牛顿第二定律求轨道对环的弹力.
(2)小环撞击D点后水平方向的分速度突然减至零,只剩竖直分速度,由平抛运动的规律求出竖直分速度,再由机械能守恒定律求小环相对A点能上升的最大高度.

解答 解:(1)小环从C到D做平抛运动,由平抛运动的规律有:
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
R=vCt
解得:vC=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
在C点,以小环为研究对象,设轨道对小环的弹力方向竖直向上,大小为F.根据牛顿第二定律得:
mg-F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得:F=$\frac{1}{2}$mg
由于F>0,所以假设正确,即轨道对环的弹力的方向竖直向上.
(2)小环撞击D点后水平方向的分速度突然减至零,只剩竖直分速度,竖直分速度为:vy=gt=$\sqrt{2gR}$
设小环相对A点能上升的最大高度为h.取A点为参考点,根据机械能守恒定律得:
$\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}$+mgR=mgh
解得:h=2R
答:(1)小环到达C点瞬间轨道对环的弹力的大小是$\frac{1}{2}$mg,方向竖直向上;
(2)设小环撞击到D点后又能套在圆轨道上,那么相对A点能上升的最大高度是2R.

点评 本题考查了平抛运动、向心力与机械能守恒定律的综合,要知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律,明确圆周运动向心力的来源:指向合外力.关键要判断出小环撞击D点时速度的变化.

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