Question

8．如图所示，长为3L的长木板AD放在光滑的水平面上，B、C两点将长木板三等分．AB，CD段光滑．一物块从A点以一定的初速度滑上长木板．物块与BC段间的动摩擦因数为μ，物块质量为m，长木板的质量为2m．重力加速度为g．
求：
（1）要使物块不滑离长木板，物块的初速度应满足什么条件：
（2）若初速度为2$\sqrt{μgL}$，则物块在长木板上运动的时间为多少．

Answer 1

分析 （1）对物块和木板组成的系统运用动量守恒定律和能量守恒定律，抓住临界状态，即速度相等时恰好滑到C点，求出初速度满足的条件．
（2）物块在AB段做匀速直线运动，根据位移公式求出AB段的运动时间，根据牛顿第二定律求出物块和木板在BC段的加速度，结合位移之差等于L求出运动的时间，以及在C点物块和木板的速度，结合位移之差等于L求出CD段的时间，从而得出总时间．

解答 解：（1）物块不滑离木板的临界情况是速度相等时恰好滑动C点，
以物块和木板组成的系统为研究对象，根据动量守恒 定律得，mv₀=（2m+m）v，解得v=$\frac{{v}_{0}}{3}$，
根据能量守恒得，$μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}•3m{v}^{2}$，
解得v₀=$\sqrt{3μgL}$．
则${v}_{0}≤\sqrt{3μgL}$．
（2）若初速度为2$\sqrt{μgL}$$＞\sqrt{3μgL}$，物块会滑离木板，
AB段运动时间${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{L}{2\sqrt{μgL}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{μg}}$，
BC段，由x_物-x_板=L得，
$（{v}_{0}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{物}{{t}_{2}}^{2}）-\frac{1}{2}{a}_{板}{{t}_{2}}^{2}=L$
根据牛顿第二定律得，a_物=μg，木板的加速度${a}_{板}=\frac{μmg}{2m}=\frac{1}{2}μg$，
代入数据解得${t}_{2}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{L}{μg}}$．
C点速度${v}_{物}={v}_{0}-{a}_{物}{t}_{2}=\frac{4}{3}\sqrt{μgL}$，${v}_{板}={a}_{板}{t}_{2}=\frac{1}{3}\sqrt{μgL}$，
CD段运动的时间${t}_{3}=\frac{L}{{v}_{物}-{v}_{板}}=\sqrt{\frac{L}{μg}}$，
则总时间t=t₁+t₂+t₃=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{μg}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{L}{μg}}+\sqrt{\frac{L}{μg}}$=$\frac{13}{6}\sqrt{\frac{L}{μg}}$．
答：（1）要使物块不滑离长木板，物块的初速度应满足${v}_{0}≤\sqrt{3μgL}$．
（2）物块在长木板上运动的时间为$\frac{13}{6}\sqrt{\frac{L}{μg}}$．

点评 解决本题的关键理清物块和木板在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，对于第一问也可以采用动力学知识进行求解．