Question

15．如图，一长为2L的平行板电容器，两板间所加的电压为U，电容器的下方存在一腰长为L的等腰三角形区，内部存在垂直纸面向外的匀强磁场，今有一质量为m电量为q的正粒子，由上板的中央位置O′处静止出发，经加速度电压加速后，从下板正中央的小孔O垂直于极板进入匀强磁场区域，假设粒子能与极板发生无能量损失的碰撞，且碰撞前后粒子的电量不变，忽略粒子的重力、粒子与极板的碰撞时间以及空气的阻力，求：
（1）粒子进入磁场瞬间的速度；
（2）如果粒子经磁场偏转后能以最大的回旋半径到达下极板，则磁场的磁感应强度；
（3）如果改变磁感应强度的大小，则粒子在磁场中运动时间也随之变化，求粒子运动的最长时间应为多少？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子进入磁场的速度；
（2）结合几何关系求出粒子在磁场中运动的半径，结合半径公式求出磁感应强度的大小．
（3）粒子速率恒定，从进入磁场到第一次打到ED板的圆周轨迹到EC边相切时，路程最长，运动时间最长，结合几何关系求出粒子做圆周运动的半径，根据圆周运动的弧长求出最长时间．

解答 解：（1）粒子在电场中加速，由动能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）要使粒子半径最大，粒子运动轨迹应与AC相切，粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识可得：R+$\frac{R}{sinθ}$=L，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提向心力，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：B=$\frac{（1+\sqrt{2}）\sqrt{2mqU}}{qL}$；
（3）粒子运动的轨道半径为r，r越小最后一次打在AB板的点越靠近A端点，
在磁场中圆周运动的累积路程越长，运动时间越长，r为无穷小时，
经过n个半圆周，最后一次打在A点，运动轨迹如图所示：

则：n=$\frac{L}{2r}$，圆周运动周期：T=$\frac{2πr}{v}$，
最长的极限时间：t_m=n$\frac{T}{2}$=$\frac{πL}{2}$$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$；
答：（1）粒子进入磁场瞬间的速度为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）如果粒子经磁场偏转后能以最大的回旋半径到达下极板，则磁场的磁感应强度为$\frac{（1+\sqrt{2}）\sqrt{2mqU}}{qL}$；
（3）如果改变磁感应强度的大小，则粒子在磁场中运动时间也随之变化，粒子运动的最长时间应为$\frac{πL}{2}$$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．

点评 处理带电粒子在磁场中运动问题，关键作出粒子的运动轨迹，会确定圆周运动的圆心、半径、圆心角，结合半径公式、周期公式进行求解．