Question

3．如图所示，足够长的圆柱形管底端固定一弹射器，弹射器上有一圆柱形滑块，圆柱管和弹射器的总质量为2m，滑块的质量为m，滑块与管内壁间的滑动摩擦力f=3mg．在恒定外力F=9mg的作用力下，圆柱管和滑块以同一加速度竖直向上做匀加速直线运动．某时刻弹射器突然开启，将滑块向上以相对地面2v弹离圆柱管的底端，同时圆柱管也以速度v仍向上运动．忽略弹射过程中弹片的位置变化，忽略空气影响，重力加速度为g．求：
（1）弹射后，滑块相对管上升的最大距离；
（2）从滑块被弹开到它第二次获得相对地面速度大小为2v的过程中，摩擦力对滑块做的功．

Answer 1

分析 （1）滑块被弹射后与圆柱管共速前，滑块做匀减速运动，管子做匀加速运动，根据牛顿第二定律求得各自的加速度，由速度时间公式求出共速时经过的时间以及共同速度．再由位移公式求出此过程中两者的位移，得到位移之差即相对位移，即为滑块相对管上升的最大距离．
（2）共速后，假设两者相对静止，设圆柱管和滑块系统的加速度为a₀，根据牛顿第二定律求得临界加速度a₀，并求出滑块所受的摩擦力，即可分析出两者共速．再由速度位移公式求出滑块从速度v₁至2v的过程中通过的位移，最后运用动能定理求摩擦力对滑块做的功．

解答 解：（1）滑块被弹射后与圆柱管共速前，设圆柱管和滑块的加速度分别为a₁和a₂，根据牛顿第二定律，有：
  F+f-2mg=2ma₁                            ①
  mg+f=ma₂                                   ②
共速时滑块相对管上升的距离最大，设经过时间t₁后，两者以v₁共速，由运动学公式，可知
  v₁=v+a₁t₁，v₁=2v-a₂t₁                               ③
联立①②③，得
   t₁=$\frac{v}{9g}$                           ④
   v₁=$\frac{14v}{g}$                         ⑤
圆柱管的位移
   s₁=$\frac{v+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$                              ⑥
滑块的位移
   s₂=$\frac{2v+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$                            ⑦
两者相对位移
△s=s₂-s₁                           ⑧
联立⑥⑦⑧，得
△s=$\frac{{v}^{2}}{18g}$                             ⑨
  s₂=$\frac{16{v}^{2}}{81g}$                           （10）
（2）共速后，假设两者相对静止，设圆柱管和滑块系统的加速度为a₀，根据牛顿第二定律得
   F-（m+2m）g=（m+2m）a₀                           （11）
对滑块  f₀-mg=ma₀                            （12）
联立（11）（12），得
   a₀=2g     （13）
  f₀=3mg≤f                             （14）
结果表明假设成立，圆柱管与滑块相对静止向上以a₀匀加速向上运动．
滑块从速度v₁至2v的过程中通过的位移为
   s₃=$\frac{（2v）^{2}-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{0}}$=$\frac{32{v}^{2}}{81g}$            （15）
滑块被弹开到它第二次获得相对地面速度大小为2v的过程中，设摩擦力做的总功W_f，根据动能定理得
-mg（s₂+s₃）+W_f=0   （16）
联立（10）（15）（16）式，得
   W_f=$\frac{16m{v}^{2}}{27}$                                （17）
答：（1）弹射后，滑块相对管上升的最大距离是$\frac{16{v}^{2}}{81g}$．
（2）摩擦力对滑块做的功是$\frac{16m{v}^{2}}{27}$．

点评 分段分析滑块和管子的运动情况是解决本题的关键，要注意分析临界状态：速度相同的条件，运用牛顿第二定律和运动学公式解答．