Question

17．已知某船在静水中的速度为v₁=4m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d=100m，水流速度为v₂=3m/s，方向与河岸平行．
（1）欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？
（2）欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？渡河所用时间是多少？
（3）若水流速度为v₂=5m/s，船在静水中的速度为v₁=4m/s，船能否垂直河岸渡河？

Answer 1

分析 船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．由矢量合成的平行四边形定则得知小船的合速度，小船实际以合速度做匀速直线运动，进而求得位移的大小；小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸．

解答 解：（1）当船头垂直对岸行到对岸时，所需要的时间最短，最短时间为：t=$\frac{d}{{v}_{1}}=\frac{100}{4}$=25s
船沿着水流方向的位移大小：s=v₂t=3×25=75m；
船发生的位移是：x=$\sqrt{{s}^{2}+{d}^{2}}=\sqrt{7{5}^{2}+10{0}^{2}}$=125m；
（2）欲使船航行距离最短，需使船的实际位移（合位移）与河岸垂直，船头指向河的上游，与河岸夹角为α，且cosα=$\frac{3}{4}$
则船的合速度为：υ=$\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}=\sqrt{7}$m/s，
t′=$\frac{d}{v}=\frac{100}{\sqrt{7}}=\frac{100\sqrt{7}}{7}$s；
（3）若水流速度为v₂=5m/s，船在静水中的速度为v₁=4m/s，船不能垂直河岸渡河．
答：（1）欲使船渡河时间最短，船应垂直河岸渡河，最短时间是25s，船经过的位移是125m；
（2）欲使船航行距离最短，船的合速度垂直河岸渡河，船头指向河的上游，与河岸夹角为α，且cosα=$\frac{3}{4}$；渡河时间是$\frac{100\sqrt{7}}{7}$s．
（3）若水流速度为v₂=5m/s，船在静水中的速度为v₁=4m/s，船不能垂直河岸渡河．

点评 小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．