Question

月球半径约为地球半径的

1

4

，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的

1

6

，把月球和地球都视为质量均匀分布的球体．求：
（1）环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比

v地

v月

；
（2）地球和月球的平均密度之比

ρ地

ρ月

．

Answer 1

分析：（1）卫星做运动运动所需向心力由万有引力提供，由牛顿第二定律求出两卫星的线速度，然后再求它们的比值．
（2）星球表面的物体受到的重力等于星球对它的万有引力，据此求出星球的质量，然后由密度公式求出星球的密度，最后求出地球与月球的平均密度之比．

解答：解：（1）物体受到的重力等于万有引力，
即：G

Mm

R2

=mg  ①，
卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，
由牛顿第二定律可得：
G

Mm

R2

=m

v2

R

    ②，
由①②解得：v=

gR

  ③，
环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比：

v地

v月

=

g地R地 g月R月

=2

6

：1  ④；
（2）设想将一质量为m₀的小体放在天体表面处．
由万有引力定律可得：G

Mm0

r2

=m₀g   ⑤，
平均密度ρ=

M

4 3 πr3

   ⑥，
由⑤⑥可得，地球和月球的平均密度之比：

ρ地

ρ月

=

g地r月

g月r地

=3：2；
答：（1）环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比是2

6

：1；
（2）地球和月球的平均密度之比是3：2．

点评：卫星绕地球或月球做圆周运动时，万有引力提供向心力，在解题时注意GM的代换．