Question

3．如图所示，水平虚线MN上方存在方向竖直向下的匀强电场，电场强度为E，下方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．MN上有O、C两点，AO⊥OC，AO=L，OC=d．一质量为m、电荷量为+q的粒子（不计重力），从A点以某速度水平向右射出；
（1）若粒子射出后，至经过电场区域，直接到达C点，求粒子的初速度v₀；
（2）若粒子从A点以速度v水平射出后，经电场从虚线上OC间某点进入磁场中运动，经磁场后再进入电场，要使粒子经过C点且到达C点的速度方向斜向上，求满足条件的所有v值．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，根据竖直方向加速位移求出粒子的运动时间，再根据粒子在水平方向做匀速直线运动求出粒子的初速度；
（2）在图上画出粒子的运动轨迹，根据几何运动具有周期性，求出每个周期粒子的运动距离，n个周期粒子运动到C点，求出速度v．

解答 解：（1）粒子在电场中运动时，有：d=v₀t，
$L=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
加速度为：a=$\frac{qE}{m}$，
解得${v}_{0}=d\sqrt{\frac{qE}{2mL}}$；
（2）设粒子从A点经过电场从MN边界上进入磁场时的速度为v′，与水平方向夹角为α，有：
Eq=ma，
$d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
vt=d，
${v}^{′}=\sqrt{{v}^{2}+（at）^{2}}$，
粒子在磁场中运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律得：
$q{v}^{′}B=\frac{m{{v}^{′}}^{2}}{R}$，R=$\frac{m{v}^{′}}{Bq}$，
粒子在电磁场中做周期性运动，运动轨迹如图所示，每运动一个周期，粒子沿MN方向运动的距离为C₁C₂，
C₁C₂=vt-2Rsinα+vt，
OC=nC₁C₂+vt-2Rsinα，
sinα=$\frac{at}{{v}^{′}}$，
解得v=$\frac{1}{2n+1}$（$d\sqrt{\frac{Eq}{2mL}}+\frac{2（n+1）E}{B}$），（n=1，2，3，4…）
答：（1）若粒子射出后，至经过电场区域，直接到达C点，求粒子的初速度v₀为$d\sqrt{\frac{qE}{2mL}}$；
（2）若粒子从A点以速度v水平射出后，经电场从虚线上OC间某点进入磁场中运动，经磁场后再进入电场，
要使粒子经过C点且到达C点的速度方向斜向上，求满足条件的所有v值为$\frac{1}{2n+1}$（$d\sqrt{\frac{Eq}{2mL}}+\frac{2（n+1）E}{B}$），（n=1，2，3，4…）．

点评 本题考查了带电粒子在复合场中的运动，需要考生掌握平抛运动模型和粒子在磁场中做圆周运动的基本公式，根据粒子运动轨迹具有周期性，讨论多种情况，难度较大．