Question

8．如图所示，光滑轨道LMNPQMK固定在水平地面上，轨道平面在竖直面内，MNPQM是半径为R的圆形轨道，轨道LM与圆形轨道MNPQM在M点相切，轨道MK与圆形轨道MNPQM在M点相切，b点、P点在同一水平面上，K点位置比P点低，b点离地高度为2R，a点离地高度为2.5R．若将一个质量为m的小球从左侧轨道上不同位置由静止释放，关于小球的运动情况，以下说法中正确的是（　　）

• A． 若将小球从LM轨道上a点由静止释放，小球一定能沿轨道运动到K点
• B． 若将小球从LM轨道上b点由静止释放，小球一定能沿轨道运动到K点
• C． 若将小球从LM轨道上a、b点之间任一位置由静止释放，小球一定能沿轨道运动到K点
• D． 若将小球从LM轨道上a点以上任一位置由静止释放，小球沿轨道运动到K点后做斜上抛运动，小球做斜上抛运动时距离地面的最大高度一定等于由静止释放时的高度

Answer 1

分析 小球要能到达K点，必须通过P点，恰好通过P点时由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求得P点的临界速度，由机械能守恒定律求出小球从LM上释放的高度，从而判断小球否能沿轨道运动到K点．

解答 解：ABC、由于MNPQM是半径为R的圆形轨道，所以小球只要能通过P点，就一定能沿轨道运动到K点．从a到b过程，由机械能守恒定律得：
  mg（2.5R-2R）=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{gR}$．
若小球能沿轨道运动到K点，则应满足的条件是在P点小球受到的弹力F_N≥0，在P点由牛顿第二定律得：F_N+mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$，解得m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$-mg≥0，即v_P≥$\sqrt{gR}$，又因b点、P点在同一水平面上，因此若将小球从LM轨道上a点由静止释放，小球能恰好通过P点，也一定能沿轨道运动到K点．若将小球从LM轨道上b点由静止释放，或将小球从LM轨道上a、b点之间任一位置由静止释放，小球不能通过P点，也不能能沿轨道运动到K点．故A正确，BC错误；
D、若将小球从LM轨道上b点，或a、b点之间任一位置由静止释放，小球一定不能通过P点，不一定能沿轨道运动到K点，故B、C错误；将小球从LM轨道上a点以上任一位置由静止释放，小球能沿轨道运动到K点，由于K点位置比P点低，根据机械能守恒定律知，小球在K点的速度一定大于零，所以小球沿轨道运动到K点后做斜上抛运动，又因小球做斜上抛运动上升到最大高度时，在水平方向上速度不为零，故小球做斜上抛运动时距离地面的最大高度一定小于由静止释放时的高度，故D错误．
故选：A

点评 本题是机械能守恒和圆周运动临界条件、斜抛知识的综合，关键掌握圆周运动最高点的临界条件，知道斜抛运动最高点速度并不为零，要运用机械能守恒列式分析．