Question

（2011?上海模拟）如图所示，在距水平地面高为H=0.4m处，水平固定一根长直光滑杆，杆上P处固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套一质量m=3kg的滑块A．半径R=0.3m的光滑半圆形轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量m=3kg的小球B．用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块和小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响．现给滑块A施加一个水平向右、大小为60N的恒力F，则：
（1）求把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C的过程中力F做的功．
（2）求小球B运动到C处时的速度大小v₁．
（3）问小球B被拉到离地多高时滑块A与小球B的速度大小相等？此时速度v₂为多大？

Answer 1

分析：（1）根据几何知识求出滑块移动的位移大小，再求解力F做的功．
（2）当B球到达C处时，滑块A的速度为零，力F做的功等于AB组成的系统机械能的增加，根据功能关系列方程求解小球B运动到C处时的速度大小v₁．
（3）当绳与轨道相切时两球速度相等，小滑块A与小球B的速度大小相等，由几何知识求出小球B上升的高度，再由功能关系求出速度v₂．

解答：解：（1）由几何知识得，PB=

H2+R2

=0.5m，PC=H-R=0.1m．
F做的功为W=F（PB-PC）=60×（0.5-0.1）=24J．
（2）当B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时滑块A的速度为零．对两球及绳子组成的系统的能量变化过程，由功能关系，得W=

1

2

mv₁²+mgR
  代入解得v₁=3.16m/s
（3）当绳与轨道相切时两球速度相等，（1分）
由相似三角形知识，得

PO

R

=

R

h

，所以，h=0.3×

0.3

0.4

=0.225m．
由动能定理得：
F（PB-

H2-R2

）-mgh=

1

2

×2mv₂²
代入解得，v₂=1.57m/s                           
答：
（1）把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C的过程中力F做的功为24J．
（2）小球B运动到C处时的速度大小v₁=3.16m/s．
（3）小球B被拉到离地0.225m高时滑块A与小球B的速度大小相等，此时速度v₂为1.57m/s．

点评：本题连接体问题，从功能关系研究物体的速度与高度，关键分析两物体之间的关系和运用几何知识研究物体的位移．