Question

如图所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一砂箱，砂箱左侧连接一水平轻弹簧，小车和砂箱的总质量为M．车上放有一小物块A，质量也为M．物块A随小车以速度υ₀向右匀速运动．物块A与其左侧的车面的动摩擦因数为μ，与其它车面的摩擦不计．在车匀速运动的过程中，距砂面H高处有一质量为m=

M

2

的泥球C自由下落，恰好落在砂箱中，并在极短时间内下降h=

H

5

相对小车静止．求：
（1）小车在前进中，弹簧弹性势能的最大值是多少？
（2）为使物块A不从小车上滑下，车面粗糙部分至少多长？
（3）从泥球下落至物块相对小车静止的全过程中，A、B、C系统产生总内能为多少？

Answer 1

分析：1、泥球落入砂箱时，水平方向动量守恒．由于泥球水平方向的速度为0，故碰撞后小车的速度减小．而A的速度不变（A右侧无摩擦），因此，A将与弹簧碰撞，压缩弹簧．在弹簧弹力作用下，A减速，小车加速．只要A的速度大于小车的速度，A将继续压缩弹簧，弹簧的弹性势能将继续增大．当A的速度等于小车速度时，弹簧压缩到最短，此时其弹性势能最大．此后，A继续减速，小车继续加速，A的速度小于小车的速度，弹簧的压缩量减小，弹性势能变小．
2、由1可知，当弹簧恢复原长时，A必相对于小车向左滑动．当A滑上粗糙部分后，在摩擦力作用下，最后相对于小车静止．从A滑上小车粗糙部分开始到相对小车静止的过程中，A相对于小车滑行的距离即为所要求的最小距离．
3、根据能量守恒列出等式求解．

解答：解：（1）依题意，当A与小车的速度再次相等时，弹簧的弹性势能最大．
泥球落入砂箱过程中，车与泥球系统水平方向动量守恒．
设泥球落入砂箱后车速为v₁．有：
Mv₀=（M+m）v₁
从A开始压缩弹簧到两者速度相等的过程中，系统动量守恒．
设系统的共同速度为v₂，有：
Mv₀+（M+m）v₁=（M+M+m）v₂
E_p=

1

2

M

V

2 0

+

1

2

（M+m）

v

2 1

-

1

2

（2M+m）

v

2 2

从A开始压缩弹簧到两者速度相等的过程中，系统损失的动能转化为弹簧的弹性势能．有：
E_p=

Mm2v 2 0

2(M+m)(2M+m)

（2）从弹簧压缩最短到A受摩擦力作用而再次相对小车静止的过程中，系统动量守恒．
因此，A相对小车静止后，它们的共同速度必等于v₂，即此过程始、末状态系统的动能未变，
因此，弹簧减少的弹性势能通过摩擦力做功转化为系统的内能．
设A相对于小车滑行的距离为L．有：μMgL=E_P
L=

m2v 2 0

2μg(M+m)(2M+m)

（3）根据能量守恒得：△E=mg(H+h)+

1

2

?2M?

υ

2 0

-

1

2

(2M+m)

υ

2 2

即系统产生的总内能为：△E=

1

5

M(3gH+

υ

2 0

)
答：（1）小车在前进中，弹簧弹性势能的最大值是E_p=

Mm2v 2 0

2(M+m)(2M+m)

（2）为使物块A不从小车上滑下，车面粗糙部分至少

m2v 2 0

2μg(M+m)(2M+m)

（3）从泥球下落至物块相对小车静止的全过程中，A、B、C系统产生总内能为△E=

1

5

M(3gH+

υ

2 0

)

点评：解决该题关键要掌握动量守恒和能量守恒列出等式求解，注意小球掉小车的过程中是小球与车水平方向的动量守恒．