Question

9．如图所示，质量均为km（其中k=1，2，3…）的斜劈A和B静止放在光滑的水平面上，斜劈A和B的曲面为半径相同的四分之一的圆周，圆周下端与水平面相切，一质量为m的小球位于两斜劈的中间某位置，现给小球水平向右的初速度v₀，求：
（1）若将斜劈B固定，小球刚好滑到斜劈顶端，斜劈的半径多大；
（2）若两斜劈均不固定，当小球第一次从斜劈B滑下离开时，小球的速度多大；
（3）在满足（2）问前提下，若小球至少2次向右滑上斜劈B，k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）应用动能定理可以求出斜劈的半径．
（2）系统动量守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律求出速度．
（3）由动量守恒定律求出速度，然后根据题意确定k的值

解答 解：（1）斜劈B固定，小球刚好滑到斜劈顶端，
小球运动过程，由动能定理得：-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得，斜劈的半径：R=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）设小球第一次从斜劈B滑下离开时，小球和斜劈B的速度分别为v₁和v₂，
以向右为正方向，由动量守恒可得：mv₀=mv₁+kmv₂，
由机械能守恒可得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$kmv₂²，
联立解得小球速度为：v₁=$\frac{1-k}{1+k}$v₀，斜劈B速度为：v₂=$\frac{2}{1+k}$v₀；
（3）设小球第一次滑下离开斜劈A时，小球和斜劈A的速度分别为v₁′和v₂′，
以向右为正方向，由动量守恒可得：mv₀=mv₁+kmv₂，联立解得小球的速度：v₁′=$\frac{1-k}{1+k}$v₁=$（\frac{1-k}{1+k}）^{2}$v₀，
若小球至少两次向右滑上斜劈B，则必有：|v₁′|＞v₂，化简得：k²-4k-1＞0，
解得：k＞2+$\sqrt{5}$，故k=5、6、7、…；
答：（1）若将斜劈B固定，小球刚好滑到斜劈顶端，斜劈的半径为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）若两斜劈均不固定，当小球第一次从斜劈B滑下离开时，小球的速度为$\frac{1-k}{1+k}$v₀；
（3）在满足（2）问前提下，若小球至少2次向右滑上斜劈B，k的取值范围是：k=5、6、7、…．

点评 本题考查了动量守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程，应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．