Question

14．如图所示，M和N是两块相互平行的光滑竖直弹性板，两板之间的距离为L，高度为H，现从M板的顶端O以垂直板面的水平速度v₀抛出一个小球，小球在飞行中与M板和N板，分别在A和B点相碰，并最终在两板间的中点C处落地．求：
（1）小球抛出的速度v₀与L和H之间满足的关系；
（2）OA、AB、BC在竖直方向上距离之比．

Answer 1

分析 （1）平抛运动的时间是由高度决定的，结合水平方向的位移即可得出抛出的速度v₀与L和H之间满足的关系；
（2）根据水平方向运动的特点明确三段位移的时间的关系，再结合竖直方向的自由落体运动的公式即可求出OA、AB、BC在竖直方向上距离之比．

解答 解：（1）由于小球水平抛入，所以可看成竖直方向做自由落体与水平方向做匀速直线运动，
由自由落体公式：H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
得：t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$，
在水平方向可以看做匀速直线运动，水平的位移可以认为是x=2.5L，
水平方向：x=v₀t
所以得：2.5L=${v}_{0}•\sqrt{\frac{2H}{g}}$
（2）由于平抛运动水平方向的分速度大小不变，设OA段的时间是t₀，AB段水平方向的位移的大小与OA段水平方向的位移大小相等，所以也是t₀；BC段水平方向的位移大小是OA段水平方向位移的$\frac{1}{2}$，所以时间是$\frac{1}{2}$t₀．
OA段在竖直方向的位移：${y}_{1}=\frac{1}{2}g{t}_{0}^{2}$
AB段竖直方向的位移：${y}_{2}=\frac{1}{2}g（2{t}_{0}）^{2}-{y}_{1}=\frac{4}{2}g{t}_{0}^{2}-{y}_{1}=3{y}_{1}$
BC段竖直方向的位移：${y}_{3}=\frac{1}{2}g（2.5{t}_{0}）^{2}-{y}_{2}$=$\frac{6.25}{2}g{t}_{0}^{2}-3{y}_{1}=3.25{y}_{1}$
所以OA、AB、BC在竖直方向上距离之比：y₁：y₂：y₃=1：3：3.25．
答：（1）小球抛出的速度v₀与L和H之间满足的关系是$2.5L={v}_{0}•\sqrt{\frac{2H}{g}}$；
（2）OA、AB、BC在竖直方向上距离之比是1：3：3.25．

点评 本题是平抛运动的变形，在竖直方向上的运动是不受影响的，在水平方向上反复的运动，取直之后就是平抛运动．