Question

如图所示，光滑水平面上静止放置着一辆平板车A，车总长为L．车上有两个小滑块B和C（都可视为质点），B与车之间的动摩擦因数为μ，而C与车之间的动摩擦因数为2μ．开始时B、C分别从车的左、右两端同时以大小相同的初速度相向滑行．经过一段时间，C、A的速度达到相等，此时C和B恰好发生碰撞．已知C和B发生碰撞时两者的速度立刻互换，且碰撞时间极短．A、B、C三者的质量都相等，重力加速度为g．设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，求：
（1）B、C刚滑上平板车A时，A、B、C三者各自的加速度？
（2）B和C刚滑上平板车时的初速度v₀的大小？
（3）C和B发生碰撞后经过多长时间A、B、C三者的速度相同？共同速度为多少？（滑块C最后没有脱离车）

Answer 1

分析：（1）设ABC三者的质量都为m，根据牛顿第二定律即可求得各自的加速度；
（2）从开始到C、A的速度达到相等这一过程所需要的时间为t，分别对ABC由牛顿定律和运动学规律列式即可求解；
（3）先求出ABC三者的末速度，C和B发生碰撞时两者速度立刻互换，B和A的速度相等，C和B发生碰撞后经过t₀时间ABC三者速度相同，共同速度为v，根据牛顿第二定律及运动学基本公式列式即可求解．

解答：解：（1）设ABC三者的质量都为m，根据牛顿第二定律得：
f_c=2μmg=ma_c，解得：a_c=2μg，方向水平向右
f_b=μmg=ma_b，解得：a_b=μg，方向水平向左
f_c-f_b=μmg=ma_a，解得：a_a=μg，方向水平向左
（2）从开始到C、A的速度达到相等这一过程所需要的时间为t
对C，由牛顿定律和运动学规律有
v_C=v₀-a_Ct
SC=

1

2

(v0+vC)t
对A，由牛顿定律和运动学规律有
v_A=a_At=v_C
SA=

1

2

vAt
对B，由牛顿定律和运动学规律有
v_B=v₀-a_Bt
SB=

1

2

(v0+vB)t
C和B恰好发生碰撞，则有
S_C+S_B=L
由以上各式解得初速度v0=

2μgL

（3）ABC三者的末速度分别为vA=vC=

1

3

v0（向左）
vB=

2

3

v0（向右）
C和B发生碰撞时两者速度立刻互换，则碰后C和B的速度各为
v′C=

2

3

v0（向右）
v′B=

1

3

v0（向左）
碰撞后B和A的速度相等，设B和A保持相对静止一起运动，此时对B和A整体有
f_c=2μmg=2ma
隔离B，则B受到的摩擦力为
f′_b=ma
可得f′_b=μmg，说明B和A保持相对静止一起运动
C和B发生碰撞后经过t₀时间ABC三者速度相同，共同速度为v，向右为正
f_c=-2μmg=ma′_c解得：a′_c=-2μg
f_AB=-f_C=2μmg=ma′_AB解得：a′_AB=μg

2

3

v₀-2μgt₀=-

1

3

v₀+μgt₀=v
解得：t0=

v0

3μg

=

2μgl

3μg

，v=0
答：（1）B、C刚滑上平板车A时，A、B、C三者各自的加速度分别为μg，μg，2μg；
（2）B和C刚滑上平板车时的初速度v₀的大小为

2μgL

；
（3）C和B发生碰撞后经过

2μgl

3μg

时间A、B、C三者的速度相同，共同速度为0

点评：本题主要考查了牛顿运动定律及运动学基本公式的应用，要知道C和B发生碰撞时两者速度立刻互换，碰撞后B和A的速度相等，难度适中．