Question

15．如图所示，P是倾角为30°的光滑固定斜面．劲度系数为k的轻弹簧一端固定在斜面底端的固定挡板C上，另一端与质量  物块A相连接．细绳另一端系物体A上，细绳跨过不计质量和摩擦的定滑轮，另有一个不计质量的小挂钩，小挂钩不挂任何物体时，物体A处于静止状态，细绳与斜面平行．小挂钩上轻轻挂上一个质量也为m物块B后，物体A沿斜面向上运动，斜面足够长，运动过程中物块B始终未接触地面．已知重力加速度为g=10m/s²
（1）求小挂钩不挂任何物体时弹簧的压缩量为x₁
（2）设物块A沿斜面上升通过Q点位置时速度最大，求Q点到出发点距离x₀及最大速vm；
（3）把物块B质量变为nm（n＞0.5），小明同学认为，只要n足够大，就可以使物块A沿斜面上滑到Q点时速度增大到2v_m，你认为是否正确？如果正确，请说明理由，如果不正确，请求出A沿斜面上升到Q点位置时速度范围．

Answer 1

分析 （1）小挂钩不挂任何物体时，物体A处于静止状态，由平衡条件求出弹簧的形变量；
（2）当A受到的合力为零时速度最大，根据平衡条件求出形变量，再由机械能守恒定律可以求出最大速度．
（3）由机械能守恒定律求出A的速度，然后求出速度的大小范围．

解答 解：（1）小挂钩不挂任何物体时，物体A处于静止状态，由平衡条件得：mgsin30°=kx，
得：x=$\frac{mg}{2k}$，
（2）当A受到的合力为零时速度最大，此时：
mgsin30°+kx′=mg，
解得：x=x′=$\frac{mg}{2k}$，
Q点到出发点的距离：x₀=2x=$\frac{mg}{k}$；
在出发点与Q弹簧的形变量相同，弹簧的弹性势能相等，
由机械能守恒定律得：mgx₀=mgx₀sin30°+$\frac{1}{2}$•2mv²，
解得，最大速度：v_m=g$\sqrt{\frac{m}{2k}}$；
（4）B的质量变为nm时，由机械能守恒定律得：
nmgx₀=mgx₀sin30°+$\frac{1}{2}$•（nm+m）v²，
解得：v=g$\sqrt{\frac{m（2n-1）}{k（n+1）}}$，
n→∞时，v=g$\sqrt{\frac{2m}{k}}$=2v_m，
由于n不会达到无穷大，因此速度不会达到2v_m，
小明的说法是错误的，速度范围是：0＜v＜g$\sqrt{\frac{2m}{k}}$．
答：（1）小挂钩不挂任何物体时弹簧的压缩量为x₁为$\frac{mg}{2k}$；
（2）设物块A沿斜面上升通过Q点位置时速度最大，Q点到出发点距离为$\frac{mg}{k}$，最大速为g$\sqrt{\frac{m}{2k}}$；
（3）小明的观点错误，A沿斜面上升到Q点位置时速度范围为0＜v＜g$\sqrt{\frac{2m}{k}}$．

点评 本题考查牛顿第二定律的应用及机械能守恒定律；要分析清楚物体的运动过程，应用牛顿第二定律与机械能守恒定律可以正确解题，难度适中．