Question

1．某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，它离地面的高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．不考虑地球自转的影响．
求：（1）推导地球的第一宇宙速度v₁的表达式
（2）卫星的线速度大小．

Answer 1

分析 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力充当向心力，对地球表面的物体，根据万有引力等于重力，联立解得卫星的线速度大小．

解答 解：（1）根据题给条件由万有引力充当向心力：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{V}_{1}}{R}$
得：V₁=$\sqrt{gR}$
（2）设地球质量为M，卫星质量为m，引力常量为G．
根据牛顿第二定律，得：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{v^2}{R+h}$
地球表面处物体所受万有引力近似等于重力，即$G\frac{Mm}{R^2}=mg$解得；$v=\sqrt{\frac{{{R^2}g}}{R+h}}$
答：（1）推导地球的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$（2）卫星的线速度大小$v=\sqrt{\frac{{{R^2}g}}{R+h}}$

点评 人造地球卫星所受到的万有引力充当向心力，地球表面的物体受到的重力等于万有引力，这两个关系是解决天体问题的重要的两个关系，一定要熟练掌握