Question

【题目】2016年9月，G20峰会在杭州隆重召开，其会议厅的装饰设计既展示出中国建筑的节能环保理念，又体现了浙江的竹文化特色。图a给出了其部分墙面采用的微孔竹板装饰的局部放大照片，该装饰同时又实现了对声波的共振吸收.竹板上有一系列不同面积、周期性排列的长方形微孔，声波进入微孔后导致微孔中的空气柱做简谐振动.单个微孔和竹板后的空气层，可简化成一个亥姆霍兹共振器，如图b所示.假设微孔深度均为l、单个微孔后的空气腔体体积均为、微孔横截面积记为S.声波在空气层中传播可视为绝热过程，声波传播速度与空气密度及体积弹性模量的关系为，其中是气体压强的增加量与其体积V相对变化量之比，已知标准状态(273K，latm=1.01×105Pa)下空气(可视为理想气体)的摩尔质量Mmol=29.0g/mol，热容比，气体普适常量R=8.31J/(K·mol).

(1)求标准状态下空气的密度和声波在空气中的传播速度；

(2)求上述亥姆霍兹共振器吸收声波的频率(用、S、I、V0表示)；

(3)为了吸收频率分别为120Hz和200Hz的声波，相应的两种微孔横截面积之比应为多少?

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1)由理想气体状态方程有

(1)

式中，P、V和T分别为空气的压强、体积和(绝对)温度，M和Mmol分别为空气总质量和；摩尔质量。由(1)式得空气密度为

在标准状态下(以下标“标”表示)有，

(2)

理想气体的绝热过程满足

=常量

式中γ是热容比。对上式两边微分得

(3)

由(3)式可得，空气的体积弹性模量为

(4)

声波在空气中的传播速度为

在标准状态下有

(5)

(2)细管内的空气柱的质量为

(6)

细管中的空气柱的运动是由外界压力与容器内的压力之差所引起的.设这部分空气柱运动的位移为x(向外为正)，容器内的空气体积的改变为

(7)

容器内气体压力的变化满足绝热过程，由(3)式有

(8)

相应地，对于细管内运动着的空气柱的作用力为

(9)

从而，细管内空气柱的运动方程可写为

(10)

(10)式可写成

(11)

这是简谐振动的方程，o是简谐振动的圆频率

(12)

将代入(10)式得，所述亥姆霍兹共振器吸收声波的频率为

(13)

上式最后一步利用了单个微孔后的空气腔体体积为.

(3)按题设，两种需要通过所述亥姆霍兹共振器吸收声波的频率和之比为

(14)

由(13)式可得

， (15)

式中，S1和S2是相应的上述亥姆霍兹共振器的微孔的横截面积.由(15)式有

(16)

即

(17)