Question

如图（a），小球甲固定于水平气垫导轨的左端，质量m=0.4kg的小球乙可在导轨上无摩擦地滑动，甲、乙两球之间因受到相互作用而具有一定的势能，相互作用力沿二者连线且随间距的变化而变化。现已测出势能随位置x的变化规律如图（b）中的实线所示。已知曲线最低点的横坐标x₀=20cm，虚线①为势能变化曲线的渐近线，虚线②为经过曲线上某点的切线。

（1）将小球乙从x₁=8cm处由静止释放，小球乙所能达到的最大速度为多大？

（2）假定导轨右侧足够长，将小球乙在导轨上从何处由静止释放，小球乙不可能第二次经过x₀=20cm的位置？并写出必要的推断说明；

（3）若将导轨右端抬高，使其与水平面的夹角α=30°，如图(c)所示。将球乙从x₂=6cm处由静止释放，小球乙运动到何处时速度最大？并求其最大速度；

（4）在图(b)上画出第（3）问中小球乙的动能E_k与位置x的关系图线。

 

Answer 1

【答案】

（1）1m/s；（2）见解析；（3）0.55m/s；（4）见解析。

【解析】(14分)（1）球乙运动到x₀=20cm位置时势能最少，速度最大，

能量守恒：，                                       （1分）

解出 m/s=1m/s                                   （1分）

（2）在0<x<6cm区间内将小球乙由静止释放，不可能第二次经过x₀。      （1分）

原因：  在0<x<20cm区间内两球之间作用力为排斥力，在20cm <x<∞区间内两球之间作用力为吸引力，无穷远处和6cm处的势能均为0.28J。若小球乙的静止释放点在6cm <x<∞区间，小球乙将做往复运动，多次经过x₀=20cm的位置。而静止释放点在0<x<6cm区间内时，初态势能大于0.28J，小球乙将会运动到无穷远处而无法返回，只能经过x₀位置一次。                  （2分）

（3）x₃=12cm处的切线斜率J/m=2J/m ，

表明此处乙球受到甲球2N的排斥力，                                   （1分）

乙球此处受到重力的分力mgsinα=…=2N                    

所以，乙球在x₃=12cm处时，所受合外力等于零，速度最大，               （1分）

从图中读出x₃=12cm处的势能E_p3=0.1J，x₂=6cm处的势能E_p2=0.28J，        （1分）

能量守恒：，               （1分）

解出==……=m/s =0.55m/s         （1分）

（4）作图要求：

三个关键点的位置正确：

x₂=6cm处的动能E_k=0；                                                （1分）

x₃=12cm处的动能E_k=0.06J；                                           （1分）

x₄=20cm处的动能E_k=0                                                 （1分）

曲线要求平滑，斜率变化正确。                                        （1分）