Question

9．如图，一根粗细均匀、电阻为R的电阻丝做成一个半径为r的圆形导线框，竖直放置在水平匀强磁场中，磁感应强度为B，线框平面与磁场方向垂直．现有一根质量为m、电阻不计的导体棒，自圆形线框最高点由静止释放，棒在下落过程中始终保持水平且与线框保持良好接触．已知下落到圆心O时，棒的速度大小为v₁，下落距离为$\frac{3r}{2}$时，棒的速度大小为v₂，忽略摩擦及空气阻力，则（　　）

• A． 导体棒下落距离为$\frac{3r}{2}$时，棒中感应电流的大小为$\frac{\sqrt{3}Br{v}_{2}}{R}$
• B． 导体棒下落距离为$\frac{3r}{2}$时，棒的加速度大小为g-$\frac{27{B}^{2}{r}^{2}{v}_{2}}{2mR}$
• C． 导体棒下落到圆心时，整个线框的发热功率为$\frac{{B}^{2}{r}^{2}{{v}^{2}}_{1}}{R}$
• D． 导体棒从开始下落到下落到圆心的过程中，整个线框产生的热量为mgr-$\frac{1}{2}$mv²₁

Answer 1

分析 棒下落距离为$\frac{3}{2}$r时，棒切割磁感线产生感应电动势，根据几何知识求出棒的有效切割长度，即可求出感应电动势，由欧姆定律求出电流；
由欧姆定律和安培力公式结合求出安培力，根据P=Fv求解热功率，根据牛顿第二定律可求得加速度．
从开始下落到经过圆心的过程中线框中，棒的重力势能减小转化为棒的动能和内能，根据能量守恒定律求出热量Q．

解答 解：A、导体棒下落距离为$\frac{3r}{2}$时，如图所示，根据几何关系可得：cosα=$\frac{1}{2}$，所以α=60°
有效切割长度L=2rsinα=$\sqrt{3}r$；
此时电路的总电阻：R′=$\frac{\frac{1}{3}R•\frac{2}{3}R}{R}$=$\frac{2}{9}R$，
根据法拉第电磁感应定律可得E=BLv₂=$\sqrt{3}Br{v}_{2}$，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{E}{R′}$=$\frac{\sqrt{3}Br{v}_{2}}{\frac{2}{9}R}$=$\frac{9\sqrt{3}Br{v}_{2}}{2R}$，故A错误；
B、导体棒下落距离为$\frac{3r}{2}$时，金属棒上的安培力：F=BIL=BI•$\sqrt{3}r$=$\frac{27{B}^{2}{r}^{2}{v}_{2}}{2R}$，由牛顿第二定律得：mg-F=ma，解得：a=g-$\frac{27{B}^{2}{r}^{2}{v}_{2}}{2mR}$，故B正确；
C、导体棒下落到圆心时，金属棒上的安培力：F′=BI′L=$\frac{{B}^{2}（2r）^{2}{v}_{1}}{\frac{1}{4}R}$，
线框的发热功率：P_热=P_A=F′v₁=$\frac{{16B}^{2}{r}^{2}{{v}^{2}}_{1}}{R}$，故C错误；
D、从开始下落到经过圆心的过程中，棒的重力势能减小转化为棒的动能和内能，根据能量守恒定律得：
mgr=$\frac{1}{2}$mv₁²+Q₀
解得：Q₀=mgr-$\frac{1}{2}$mv₁²，故D正确；
故选：BD．

点评 对于电磁感应问题，常常从两个角度研究：一是力的角度，关键是安培力的分析和计算；二是能量的角度，根据能量守恒定律研究．