Question

20．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，其半径r约为地球半径的2倍，假设有一艘飞船环绕该星球做匀速圆周运动，且飞行速度为v=8km/s．（地球的半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s²）求：
（1）该行星表面的重力加速度．
（2）飞船到该星球表面的距离．（结果保留3位有效数字）

Answer 1

分析 星球表面附近的物体所受星球的引力等于其重力列出等式．
星球对飞船的引力提供向心力列出等式，联立可解得．

解答 解：（1）星球表面附近的卫星所受星球的引力等于其重力，故：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg′
地球表面附近的卫星所受地球的引力等于其重力，故：
G$\frac{{M}_{地}m}{{R}^{2}}$=mg
得：g′=$\frac{M}{{M}_{地}}$•（$\frac{R}{r}$）²g=6.4×（$\frac{1}{2}$）²×10 m/s²=16 m/s²
（2）对飞船，万有引力提供向心力，故：
G$\frac{Mm}{（r+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r+h}$
解得：
h=$\frac{GM}{{v}^{2}}$-r=$\frac{g′{r}^{2}}{{v}^{2}}$-r=$\frac{g′4{R}^{2}}{{v}^{2}}$-2R=$\frac{16×4×（6.4×1{0}^{6}）^{2}}{800{0}^{2}}$-2×6.4×10⁶=2.82×10⁷ m
答：（1）该行星表面的重力加速度为16m/s²；
（2）飞船到该星球表面的距离为2.82×10⁷m．

点评 本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．重力加速度g是联系星球表面宏观物体运动和天体运动的桥梁．