Question

9．一条长为L的铁链置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使长L₁为的一部分下垂于桌边，如图所示．则放手后铁链全部通过桌面的瞬间，铁链具有的速率为$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}-{{l}_{1}}^{2}）}{L}}$．

Answer 1

分析 设桌面为零势能面，分链条为桌上的部分和桌下的部分分别确定出其两种情况下的重力势能，然后得到其变化量．再由功能关系确定重力所做的功．根据动能即为重力所做的功，从而得出速率大小．

解答 解：设桌面为零势能面，链条的重力为m，开始时链条的重力势能为：E₁=-$mg•\frac{{l}_{1}}{L}•\frac{{l}_{1}}{2}$
当链条刚脱离桌面时的重力势能：E₂=-$mg•\frac{L}{2}$
故重力势能的变化量：△E=E₂-E₁=-$\frac{mg（{L}^{2}-{{l}_{1}}^{2}）}{2L}$；
而重力做功等于重力势能的改变量；重力势能减小，说明重力做正功，转化为链条的动能
即：$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{mg（{L}^{2}-{{l}_{1}}^{2}）}{2L}$；
解得：v=$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}-{{l}_{1}}^{2}）}{L}}$
故答案为：$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}-{{l}_{1}}^{2}）}{L}}$．

点评 零势能面的选取是任意的，本题也可以选链条滑至刚刚离开桌边时链条的中心为零势能面，结果是一样的，要注意重力势能的正负．